Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/385

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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. 371


Se , ovvero , il numero de’ punti arbitrari è , quindi i punti incogniti saranno .

Quando ed siano uguali, il numero de’ punti arbitrari, che si possono prendere nel formare la base del primo fascio, è ; ma, determinata questa base, si può ancora prendere un punto (addizionale) ad arbitrio nel formare la base del secondo fascio: come risulta dal n. 54, nel quale il numero de’ punti addizionali arbitrari per diviene appunto . Dunque il numero de’ punti incogniti è .

Allo stesso risultato si arriva anche partendo da quello de’ due numeri , che si suppone minore. Sia . Allora, nel formare la base del fascio d’ordine si ponno prendere punti arbitrari; fissata questa base, si possono ancora prendere punti arbitrari nella base del secondo fascio; quindi i punti incogniti nelle due basi sono in numero

.

Concludiamo adunque che, nel formare le basi de’ due fasci d’ordini , , generatori d’una curva d’ordine , v’ha sempre un numero di punti che non sono arbitrari, ma che bisogna determinare mediante gli elementi che individuano la curva.

57. Siano dati punti, pei quali si vuol far passare una curva d’ordine : cioè si vogliano determinare due fasci d’ordini , , projettivi, in modo che il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti sia la curva d’ordine determinata dai punti dati.

Siccome fra gli punti, che individuano le basi de’ due fasci, ve ne sono che non si ponno prendere ad arbitrio, così non si potranno far entrare nelle due basi che punti, scelti ad arbitrio fra i dati. Di questi rimangono così liberi. Affinchè la curva richiesta passi anche per essi, le curve del primo fascio condotte rispettivamente per quei punti dovranno corrispondere projettivamente alle curve del secondo fascio condotte per gli stessi punti. E siccome nello stabilire la projettività di due forme si possono assumere ad arbitrio tre coppie di elementi corrispondenti (8), dopo di che,