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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

ad ogni quarto elemento della prima forma corrisponde un quarto elemento della seconda, determinato dall’eguaglianza de’ rapporti anarmonici; così la corrispondenza projettiva di quelle $2nn'+1$ coppie di curve somministrerà $(2nn'+1)-3=2(nn'-1)$ condizioni: il qual numero è appunto necessario e sufficiente per determinare gli $nn'-1$ punti incogniti¹.

58. Il problema suenunciato (53) ammette differenti soluzioni, non solo a cagione della molteplice divisibilità del numero esprimente l’ordine della curva domandata in due parti $n$, $n'$, ma anche pei diversi modi con cui si potranno distribuire fra le basi de’ due fasci generatori i punti che si assumono ad arbitrio (e quindi anche i punti incogniti).

Da ciò che si è detto al n. 56 risulta che:

Quando voglionsi formare sopra una curva d’ordine $n+n'$ le basi di due fasci generatori d’ordini $n$, $n'$, se $n$, $n'$ sono disuguali, si potranno attribuire al solo fascio d’ordine superiore tutt’i punti che è lecito assumere ad arbitrio; e se $n=n'$, si possono attribuire ad uno de’ fasci, al più, tutt’i punti arbitrari meno uno².

Art. XI.

Costruzione delle curve di second’ordine.

59. Se nel teorema (50) si pone $n=n'=1$, si ha:

Date due stelle projettive, i cui centri siano i punti $o$, $o'$, il luogo del punto d’intersezione di due raggi corrispondenti è una curva di second’ordine passante pei punti $o$, $o'$.

Reciprocamente: siano $o$, $o'$ due punti fissati ad arbitrio sopra una curva di second’ordine; $m$ un punto variabile della medesima. Movendosi $m$ sulla curva, i raggi $om$, $o'm$ generano due stelle projettive. Quando $m$ è infinitamente vicino ad $o$, il raggio $om$ diviene tangente alla curva in $o$; dunque la tangente in $o$ è quel raggio della prima stella, che corrisponde alla retta $o'o$ considerata come appartenente alla seconda stella.

Da ciò scende immediata la costruzione della curva di second’ordine, della quale siano dati cinque punti $abcoo'$. Si assumano due di essi, $oo'$, come centri di due stelle projettive, nelle quali $(oa,\,o'a)$, $(ob,\,o'b)$, $(oc,\,o'c)$ siano tre coppie di raggi corrispondenti. Qualunque altro punto della curva sarà l’intersezione di due raggi corrispondenti di queste stelle (3). Del resto, questa costruzione coincide con quella che si deduce dal teorema di Pascal (45, c). La qual costruzione si applica, senza modificazioni, anche

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1. Jonquières, Essai sur la génération des courbes etc. p. 13-14.
2. Chasles, Détermination du nombre de points etc. c. s.