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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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51. Segando, come dianzi, i due fasci dati con una trasversale
, si ottengono due involuzioni projettive, e gli
punti comuni ad esse sono le intersezioni di
colla curva
generata dalle intersezioni delle curve corrispondenti ne’ due fasci. Supponiamo ora che nella retta
vi sia un tal punto
, nel quale coincidano
intersezioni di tutte le curve del primo fascio ed
intersezioni di tutte quelle del secondo con
: ma una certa curva
del primo fascio abbia
punti comuni con
riuniti in
, e questo punto rappresenti anche
intersezioni di
colla curva
del secondo fascio, corrispondente a
. In virtù di proposizioni già esposte (24, c, d), in
coincideranno
od
(secondo che
od
57) punti comuni alla retta
ed alla curva
.
Questo teorema generale dà luogo a numerosi corollari; qui ci limitiamo ad esporre quelli, di cui avremo bisogno in seguito.
(a) Sia
un punto-base del primo fascio;
la curva del secondo, che passa per
;
la corrispondente curva del primo fascio, ed
la tangente a
in
. Applicando a questa retta il teorema generale, col porre
,
,
,
, troviamo che essa è anche la tangente a
in
.
(b) Le curve del primo fascio passino per
ed ivi abbiano una tangente comune; allora fra esse ve n’ha una
, che ha un punto doppio in
(47). Se la corrispondente curva
del secondo fascio passa per
, il teorema generale applicato ad una retta qualunque condotta per
(
,
,
,
) mostra ch’essa incontra
in due punti riuniti in
; cioè questo punto è doppio per
.58
(c) Nella ipotesi (b), se
ha in
un punto multiplo e si applica il teorema generale ad una delle due tangenti in
a
(
,
,
,
), troviamo che questa retta ha tre punti comuni con
, riuniti in
; dunque questa curva ha in comune con
non solo il punto doppio
, ma anche le relative tangenti.
(d) Fatta ancora l’ipotesi (b), se
, tangente comune alle curve del primo fascio in
, è anche una delle tangenti ai due rami di
(
,
,
,
), essa sarà tangente ad uno de’ due rami di
.
(e) E se, oltre a ciò, la seconda tangente di
in
tocca ivi anche
, applicando a questa retta il teorema generale (
,
,
,
), troviamo ch’essa è la tangente del secondo ramo di
. Donde segue che, se
ha in
le due tangenti coincidenti colla retta
, tangente comune alle curve del primo fascio, e se questa retta tocca nel medesimo punto anche
, la curva
avrà in
una cuspide colla tangente
.
(f) Due curve corrispondenti
,
passino uno stesso numero
di volte per un punto
. Se
è una retta condotta ad arbitrio per
, si ricava dal teorema generale (
,
) che in
coincidono
intersezioni di
con
, cioè
è un punto multiplo secondo
per la curva
.