Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/379

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Due fasci di curve si diranno projettivi quando siano rispettivamente projettivi a due stelle projettive fra loro; ossia quando le curve de’ due fasci si corrispondano fra loro ad una ad una. Evidentemente i rapporti anarmonici di quattro curve dell’un fascio e delle quattro corrispondenti curve dell’ altro sono eguali. E le involuzioni, che due fasci projettivi determinano su di una stessa trasversale o su di due trasversali distinte, sono projettive.

50. Siano dati due fasci projettivi, l’uno d’ordine , l’altro d’ordine ; di qual ordine è il luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? Con una trasversale arbitraria sego entrambi i fasci: ottengo così due involuzioni projettive, l’una di grado , l’altra di grado . Queste involuzioni hanno punti comuni (24, b); cioè, nella trasversale vi sono punti, per ciascuno de’ quali passano due curve corrispondenti de’ due fasci, epperò punti del luogo richiesto. Questo luogo è dunque una curva d’ordine .1 Essa passa per tutt’i punti-base de’ due fasci, poiché uno qualunque di questi punti giace su tutte le curve di un fascio e sopra una curva dell’ altro.2

(a) La curva risultante dell’ ordine può talvolta decomporsi in linee d’ ordine inferiore. Ciò avviene, per esempio, quando le curve corrispondenti de' due fasci dati si incontrano costantemente sopra una curva d'ordine . Allora gli altri punti d'intersezione sono situati in una seconda curva dell' ordine , che insieme colla precedente costituisce il luogo completo d'ordine , generato dai due fasci.

(b) Questa decomposizione avviene anche quando i due fasci projettivi, supposti dello stesso ordine , abbiano una curva comune e questa corrisponda a sè medesima. Allora ogni punto di questa curva può risguardarsi come comune a due curve corrispondenti; quindi il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti ne' due fasci sarà, in questo caso, una curva dell' ordine .

A questa proprietà si può dare anche il seguente enunciato, nel quale tutte le curve nominate s'intendano dell'ordine :

Se una curva passa pei punti comuni a due curve , e pei punti comuni a due altre curve , , anche i punti comuni alle curve , insieme coi punti comuni alle , , giaceranno tutti in una stessa curva . ____________

  1. Per questo metodo di determinare l’ordine di un luogo geometrico veggasi: Poncelet, Analyse des transversales, p. 29.
  2. <Grassmann, Die höhere Projectivität in der Ebene (Crelle t. 42, 1851, p. 202).>
    Chasles, Construction de la courbe du 3. ordre etc. Comptes rendus, 30 mai 1853). — Sur les courbes du 4. et du 3. ordre etc. (Comptes rendus, 16 août 1853).
    Jonquières, Essai sur la génération des courbes etc. Paris 1858, p. 6.