Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/378

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48. Può accadere che un punto-base sia un punto doppio per tutte le curve del fascio: nel qual caso, quel punto equivale a quattro intersezioni di due qualunque delle curve del fascio (32), epperò i rimanenti punti-base saranno . Allora è manifesto che le coppie di tangenti alle singole curve nel loro punto doppio comune formano un'involuzione quadratica: questa ha due raggi doppi, epperò vi sono due curve nel fascio, per le quali è una cuspide.

Se tutte le curve del fascio hanno, nel punto doppio , una tangente comune, qualunque retta condotta per e considerata come seconda tangente determina una curva del fascio. Dunque, in questo caso, vi sarà una sola curva per la quale sia una cuspide.

Se tutte le curve del fascio hanno, nel punto doppio , entrambe le tangenti , comuni, potremo determinare una di quelle curve per modo che una retta passante per e diversa da , , abbia ivi colla curva tre punti comuni. Dunque (31), nel caso che si considera, vi è una curva nel fascio, per la quale è un punto triplo. Ciò vale anche quando le rette , coincidano, cioè tutte le curve del fascio abbiano in una cuspide, colla tangente comune.

Analogamente: se è un punto ()plo per tutte le curve del fascio, e se queste hanno ivi le tangenti comuni, v'ha una curva del fascio, per la quale è un punto multiplo secondo .

49. Se le curve d'ordine , di un dato fascio, sono segate da una trasversale arbitraria, le intersezioni di questa con ciascuna curva formano un gruppo di punti; e gli infiniti gruppi analoghi, determinati dalle infinite curve del fascio, costituiscono un'involuzione di grado .1 Infatti, per un punto qualunque della trasversale passa una sola curva del fascio, la quale incontra la trasversale medesima negli altri punti del gruppo a cui appartiene . Ciascun gruppo è dunque determinato da uno qualunque de' suoi punti: ciò che costituisce precisamente il carattere dell' involuzione (21). [56]

L'involuzione di cui si tratta ha punti doppi (22); dunque:

Fra le curve d'ordine , d'un fascio, ve ne sono che toccano una retta data.

È evidente che un fascio d'ordine e l'involuzione di grado , ch'esso determina sopra una data retta, sono due forme geometriche projettive: cioè il rapporto anarmonico di quattro curve del fascio ed il rapporto anarmonico de' quattro gruppi di punti, in cui esse secano la retta data, sono eguali. _____________

  1. L'importante teorema sull' involuzione dei gruppi di punti in cui una trasversale incontra più curve d'un fascio è stato enunciato in tutta la sua generalità da Poncelet (Comptes rendus, 8 mai 1843, p. 953). Sturm aveva dimostrato quel teorema per le coniche: Mémoire sur les lignes du second ordine (Annales de Gergonne, t. 17, Nismes 1826-27, p. 180).