Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/393

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Sezione II.

TEORIA DELLE CURVE POLARI.



Art. XIII.

Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari.

68. Sia data una linea piana dell’ordine , e sia un punto fissato ad arbitrio nel suo piano. Se intorno ad si fa girare una trasversale che in una posizione qualunque seghi in punti , il luogo de’ centri armonici, di grado , del sistema rispetto al polo (11) sarà una curva dell’ordine , perchè essa ha punti sopra ogni trasversale condotta per . Tale curva si dirà polare esima del punto rispetto alla curva data (curva fondamentale)1.

Così il punto dà origine ad curve polari relative alla linea data. La prima polare è una curva d’ordine ; la seconda polare è dell’ordine ; ecc. L’ultima od ma polare, cioè il luogo dei centri armonici di primo grado, è una retta2.

69. I teoremi altrove dimostrati (Art. III), pei centri armonici di un sistema di punti in linea retta, si traducono qui in altrettante proprietà delle curve polari relative alla curva data.

(a) Il teorema (12) può essere espresso così: se è un punto della polare ma di , viceversa è un punto della polare ma di 3.

Ossia:

Il luogo di un polo, la cui polare ma passi per un dato punto , è la polare ma di .

Per esempio: la prima polare di è il luogo de’ poli le rette polari de’ quali passano per ; la seconda polare di è il luogo de’ poli le cui coniche polari passano per questo punto; ecc.


  1. Grassmann, Theorie der Centralen (Giornale di Crelle, t. 24, Berlino 1842, p. 262).
  2. Il teorema relativo ai centri armonici di primo grado è di Cotes; vedi Maclaurin, l. c. p. 205.
  3. Bobillier, Théorèmes sur les polaires successives (Annales de Gergonne, t. 19, Nismes 1828-29, p. 305).