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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/394

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380 introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.


(b) Dal teorema (13) segue immediatamente che:

Un polo qualsivoglia ha la stessa polare d’ordine 63 rispetto alla data linea e rispetto ad ogni curva polare d’ordine più alto, dello stesso punto , considerata come curva fondamentale.

Dunque: la seconda polare di rispetto a è la prima polare di relativa alla prima polare del punto stesso presa rispetto a ; la terza polare è la prima polare relativa alla seconda polare ed anche la seconda polare relativa alla prima polare; ecc.

(c) Il teorema (14) somministra64 il seguente:

La polare ma di un punto rispetto alla polare ma di un altro punto (relativa a ) coincide colla polare ma di rispetto alla polare ma di (relativa a ).1

Questo teorema è, come apparirà in seguito, fecondo di molte conseguenze. Ecco intanto una proprietà che emerge spontanea dal confrontarlo col teorema (69, a).

(d) Supponiamo che la polare ma di rispetto alla polare ma di passi per un punto , ossia che la polare ma di rispetto alla polare ma di passi per . Dal teorema (69, a) segue che la polare ma di rispetto alla polare ma di passerà per , ossia che la polare ma di rispetto alla polare ma di passa per . Dunque:

Se la polare ma di rispetto alla polare ma di passa per , la polare ma di rispetto alla polare ma di passa per .

70. Tornando alla definizione (68), se il polo è preso nella curva fondamentale, talchè esso tenga luogo di uno degli punti , il centro armonico di primo grado si confonderà con . Ma se la trasversale è tangente alla curva in , due de’ punti coincidono con ; onde, riuscendo indeterminato il centro armonico di primo grado, può assumersi come tale un punto qualunque della trasversale (17). Questa è dunque, nel caso attuale, il luogo de’ centri armonici di primo grado; vale a dire: la retta polare di un punto della curva fondamentale è la tangente in questo punto.

Quando il polo non giaccia nella curva fondamentale, ma la trasversale le sia tangente, due de’ punti coincidono nel punto di contatto; epperò questo sarà (16) un centro armonico di grado , ossia un punto della prima polare. Dunque: la prima polare di un punto qualunque sega la curva fondamentale ne’ punti ove questa è toccata dalle rette tangenti che passano pel polo.

La prima polare è una curva dell’ordine , talchè segherà in


  1. Plücker, Ueber ein neues Coordinatensystem (Giornale di Crelle, t. 5, Berlino 1830, pag. 34).