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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

(b) Dal teorema (13) segue immediatamente che:

Un polo qualsivoglia $o$ ha la stessa polare d’ordine $s$⁶³ rispetto alla data linea ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ e rispetto ad ogni curva polare d’ordine più alto, dello stesso punto $o$, considerata come curva fondamentale.

Dunque: la seconda polare di $o$ rispetto a ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ è la prima polare di $o$ relativa alla prima polare del punto stesso presa rispetto a ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$; la terza polare è la prima polare relativa alla seconda polare ed anche la seconda polare relativa alla prima polare; ecc.

(c) Il teorema (14) somministra⁶⁴ il seguente:

La polare $(r^{\prime })$^ma di un punto $o^{\prime }$ rispetto alla polare $(r)$^ma di un altro punto $o$ (relativa a ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$) coincide colla polare $(r)$^ma di $o$ rispetto alla polare $(r^{\prime })$^ma di $o^{\prime }$ (relativa a ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$).^[1]

Questo teorema è, come apparirà in seguito, fecondo di molte conseguenze. Ecco intanto una proprietà che emerge spontanea dal confrontarlo col teorema (69, a).

(d) Supponiamo che la polare $(r^{\prime })$^ma di $o^{\prime }$ rispetto alla polare $(r)$^ma di $o$ passi per un punto $m$, ossia che la polare $(r)$^ma di $o$ rispetto alla polare $(r^{\prime })$^ma di $o^{\prime }$ passi per $m$. Dal teorema (69, a) segue che la polare $((n-r^{\prime })-r)$^ma di $m$ rispetto alla polare $(r^{\prime })$^ma di $o^{\prime }$ passerà per $o$, ossia che la polare $(r^{\prime })$^ma di $o^{\prime }$ rispetto alla polare $((n-r^{\prime })-r)$^ma di $m$ passa per $o$. Dunque:

Se la polare $(r^{\prime })$^ma di $o$ rispetto alla polare $(r)$^ma di $o$ passa per $m$, la polare $(r^{\prime })$^ma di $o^{\prime }$ rispetto alla polare $(n-r-r^{\prime })$^ma di $m$ passa per $o$.

70. Tornando alla definizione (68), se il polo $o$ è preso nella curva fondamentale, talchè esso tenga luogo di uno degli $n$ punti $a_1{a}_2\dots a_n$, il centro armonico di primo grado si confonderà con $o$. Ma se la trasversale è tangente alla curva in $o$, due de’ punti $a_1{a}_2\dots a_n$ coincidono con $o$; onde, riuscendo indeterminato il centro armonico di primo grado, può assumersi come tale un punto qualunque della trasversale (17). Questa è dunque, nel caso attuale, il luogo de’ centri armonici di primo grado; vale a dire: la retta polare di un punto della curva fondamentale è la tangente in questo punto.

Quando il polo non giaccia nella curva fondamentale, ma la trasversale le sia tangente, due de’ punti $a_1{a}_2\dots a_n$ coincidono nel punto di contatto; epperò questo sarà (16) un centro armonico di grado $n-1$, ossia un punto della prima polare. Dunque: la prima polare di un punto qualunque sega la curva fondamentale ne’ punti ove questa è toccata dalle rette tangenti che passano pel polo.

La prima polare è una curva dell’ordine $n-1$, talchè segherà ${\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ in $n(n-1)$

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1. Plücker, Ueber ein neues Coordinatensystem (Giornale di Crelle, t. 5, Berlino 1830, pag. 34).