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punti. Donde s’inferisce che da un punto qualunque si possono condurre $n(n-1)$ tangenti alla curva fondamentale¹, ossia:

Una curva dell’ordine $n$ è, in generale, della classe $n(n-1)$.

71. Se il polo $o$ è preso nella curva fondamentale, qualunque sia la trasversale condotta per $o$, una delle intersezioni $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ coincide con $o$ medesimo; onde (17) $o$ sarà un centro armonico, di ciascun grado, del sistema $a_{1}a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$. E ciò torna a dire che tutte le polari di $o$ dalla prima sino all’$(n-1)$^ma passano per questo punto.

Ma v’ha di più. Se la trasversale è tangente a ${\rm {C_{n}}}$ in $o$, in questo sono riuniti due punti $a$, quindi anche (17) due centri armonici di grado qualunque; cioè la curva fondamentale è toccata in $o$ da tutte le polari di questo punto.

Dallo stesso teorema (17) segue ancora che la prima polare di un punto $o$ della curva fondamentale è il luogo de’ centri armonici di grado $n-2$, relativi al polo $o$, del sistema di $n-1$ punti in cui ${\rm {C_{n}}}$ è incontrata da una trasversale variabile condotta per $o$. Gli $n(n-1)-2$ punti in cui la prima polare di $o$ sega ${\rm {C_{n}}}$ (oltre ad $o$, ove queste curve si toccano) sono i punti di contatto delle rette che da $o$ si possono condurre a toccare altrove la curva data.

72. Supponiamo che la curva ${\rm {C_{n}}}$ abbia un punto $d$ multiplo secondo il numero $r$. Ogni retta condotta per $d$ sega ivi la curva in $r$ punti coincidenti, epperò (17) $d$ sarà un punto $(r)$^plo per ciascuna polare del punto stesso.

Ciascuna delle tangenti agli $r$ rami di ${\rm {C_{n}}}$ incontra questa curva in $r+1$ punti coincidenti in $d$ (31); onde considerando la tangente come una trasversale (68), in $d$ coincidono $r+1$ punti $a$, epperò anche $r+1$ centri armonici di qualunque grado, rispetto al polo $d$ (17). Dunque le $r$ tangenti di ${\rm {C_{n}}}$ nel suo punto multiplo $d$ toccano ivi anche gli $r$ rami di qualunque curva polare di $d$.

Ne segue che le polari $(n-1)$^ma, $(n-2)$^ma, ... $(n-r+1)$^ma del punto $d$ sono indeterminate, e la polare $(n-r)$^ma del punto stesso è il sistema delle $r$ tangenti dianzi considerate (31)².

Quest’ultima proprietà si rende evidente anche osservando che, risguardata la tangente in $d$ ad un ramo di ${\rm {C_{n}}}$ come una trasversale condotta pel polo $d$ (68), vi sono $r+1$ punti $a$ coincidenti insieme col polo, onde qualunque punto della trasversale potrà

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1. Poncelet, Solution ... suivie d’une théorie des polaires réciproques etc. (Annales de Gergonne, t. 8, Nismes 1817-18, p. 214).
2. {Viceversa, se le polari $(n-1)$^ma, $(n-2)$^ma, ... $(n-r+1)$^ma di un punto $d$ sono indeterminate, la polare $(n-r)$^ma sarà il sistema di $r$ rette incrociate in $d$, e questo punto sarà multiplo secondo $r$ per la curva fondamentale.}