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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/395

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punti. Donde s’inferisce che da un punto qualunque si possono condurre tangenti alla curva fondamentale1, ossia:

Una curva dell’ordine è, in generale, della classe .

71. Se il polo è preso nella curva fondamentale, qualunque sia la trasversale condotta per , una delle intersezioni coincide con medesimo; onde (17) sarà un centro armonico, di ciascun grado, del sistema rispetto al polo . E ciò torna a dire che tutte le polari di dalla prima sino all’ma passano per questo punto.

Ma v’ha di più. Se la trasversale è tangente a in , in questo sono riuniti due punti , quindi anche (17) due centri armonici di grado qualunque; cioè la curva fondamentale è toccata in da tutte le polari di questo punto.

Dallo stesso teorema (17) segue ancora che la prima polare di un punto della curva fondamentale è il luogo de’ centri armonici di grado , relativi al polo , del sistema di punti in cui è incontrata da una trasversale variabile condotta per . Gli punti in cui la prima polare di sega (oltre ad , ove queste curve si toccano) sono i punti di contatto delle rette che da si possono condurre a toccare altrove la curva data.

72. Supponiamo che la curva abbia un punto multiplo secondo il numero . Ogni retta condotta per sega ivi la curva in punti coincidenti, epperò (17) sarà un punto plo per ciascuna polare del punto stesso.

Ciascuna delle tangenti agli rami di incontra questa curva in punti coincidenti in (31); onde considerando la tangente come una trasversale (68), in coincidono punti , epperò anche centri armonici di qualunque grado, rispetto al polo (17). Dunque le tangenti di nel suo punto multiplo toccano ivi anche gli rami di qualunque curva polare di .

Ne segue che le polari ma, ma, ... ma del punto sono indeterminate, e la polare ma del punto stesso è il sistema delle tangenti dianzi considerate (31)2.

Quest’ultima proprietà si rende evidente anche osservando che, risguardata la tangente in ad un ramo di come una trasversale condotta pel polo (68), vi sono punti coincidenti insieme col polo, onde qualunque punto della trasversale potrà


  1. Poncelet, Solution ... suivie d’une théorie des polaires réciproques etc. (Annales de Gergonne, t. 8, Nismes 1817-18, p. 214).
  2. {Viceversa, se le polari ma, ma, ... ma di un punto sono indeterminate, la polare ma sarà il sistema di rette incrociate in , e questo punto sarà multiplo secondo per la curva fondamentale.}