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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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essere assunto come centro armonico di grado
(17). Cioè il fascio delle tangenti agli
rami di
costituisce il luogo dei centri armonici di grado
, rispetto al polo
.
73. Sia
un polo dato ad arbitrio nel piano della curva
, dotata di un punto
multiplo secondo
. Condotta la trasversale
,
punti
coincideranno in
; quindi (16) questo medesimo punto terrà luogo di
centri armonici del grado
(
).
{Da ciò segue che la polare
ma di
passa per
. La polare
ma di
rispetto alla polare
ma di
coincide [69, c] colla polare
ma di
rispetto alla polare
ma di
; ma quest’ultima è il sistema di
rette incrociate in
; dunque65 la polare
ma di
rispetto alla polare
ma di
consta di
rette per
. Cioè [cfr. nota al n.° preced.]
è un punto
plo per la polare
ma di
, e le tangenti a questa in
sono le
rette formanti la polare
ma di
rispetto al fascio delle
tangenti di
in
.} Ossia:
Un punto
plo della curva fondamentale è multiplo secondo
per la polare
ma di qualsivoglia polo.66
(a) Applichiamo le cose premesse al caso che
sia il sistema di
rette concorrenti in uno stesso punto
. Questo, essendo un punto
plo pel luogo fondamentale, sarà multiplo secondo
per la prima polare di un punto qualunque
; la quale sarà per conseguenza composta di
rette incrociantisi in
.
Condotta pel polo
una trasversale qualunque che seghi le
rette date in
, se
sono i centri armonici di grado
, le rette
costituiranno la prima polare di
(20). Questa prima polare non cambia (18), quando il polo
varii mantenendosi sopra una retta passante per
.
Se fra le
rette date ve ne sono
coincidenti in una sola
, nel punto
saranno riuniti (16)
centri armonici di grado
, epperò
rette
coincideranno in
, qualunque sia
.
(b) Come caso particolare, per
si ha:
Se la linea fondamentale è un pajo di rette
, la polare di un punto
è la retta coniugata armonica di
rispetto alle due date1. E se queste coincidono, con esse si confonde anche la polare, qualunque sia il polo.
74. Ritorniamo ad una curva qualunque
dotata di un punto
plo
. Assunto un polo arbitrario
, la prima polare di questo passerà
volte per
(73); e le
rette tangenti a
in
costituiranno l’
ma polare del medesimo punto
(72). Analogamente le
tangenti in
alla prima polare di
formano l’
ma polare di
rispetto alla prima polare di
, ossia, ciò che è lo stesso (69, c), la prima polare di
rispetto all’
ma polare di
. Dunque (73, a):
- ↑ A questa retta si dà il nome di polare del punto
rispetto all’angolo
.