Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/396

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382 introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

essere assunto come centro armonico di grado (17). Cioè il fascio delle tangenti agli rami di costituisce il luogo dei centri armonici di grado , rispetto al polo .

73. Sia un polo dato ad arbitrio nel piano della curva , dotata di un punto multiplo secondo . Condotta la trasversale , punti coincideranno in ; quindi (16) questo medesimo punto terrà luogo di centri armonici del grado ().

{Da ciò segue che la polare ma di passa per . La polare ma di rispetto alla polare ma di coincide [69, c] colla polare ma di rispetto alla polare ma di ; ma quest’ultima è il sistema di rette incrociate in ; dunque65 la polare ma di rispetto alla polare ma di consta di rette per . Cioè [cfr. nota al n.° preced.] è un punto plo per la polare ma di , e le tangenti a questa in sono le rette formanti la polare ma di rispetto al fascio delle tangenti di in .} Ossia:

Un punto plo della curva fondamentale è multiplo secondo per la polare ma di qualsivoglia polo.66

(a) Applichiamo le cose premesse al caso che sia il sistema di rette concorrenti in uno stesso punto . Questo, essendo un punto plo pel luogo fondamentale, sarà multiplo secondo per la prima polare di un punto qualunque ; la quale sarà per conseguenza composta di rette incrociantisi in .

Condotta pel polo una trasversale qualunque che seghi le rette date in , se sono i centri armonici di grado , le rette costituiranno la prima polare di (20). Questa prima polare non cambia (18), quando il polo varii mantenendosi sopra una retta passante per .

Se fra le rette date ve ne sono coincidenti in una sola , nel punto saranno riuniti (16) centri armonici di grado , epperò rette coincideranno in , qualunque sia .

(b) Come caso particolare, per si ha:

Se la linea fondamentale è un pajo di rette , la polare di un punto è la retta coniugata armonica di rispetto alle due date1. E se queste coincidono, con esse si confonde anche la polare, qualunque sia il polo.

74. Ritorniamo ad una curva qualunque dotata di un punto plo . Assunto un polo arbitrario , la prima polare di questo passerà volte per (73); e le rette tangenti a in costituiranno l’ma polare del medesimo punto (72). Analogamente le tangenti in alla prima polare di formano l’ma polare di rispetto alla prima polare di , ossia, ciò che è lo stesso (69, c), la prima polare di rispetto all’ma polare di . Dunque (73, a):


  1. A questa retta si dà il nome di polare del punto rispetto all’angolo .