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384 | introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
si hanno cuspidi, mentre ogni altra combinazione di due rami darà un punto doppio ordinario. Ossia: un punto plo con tangenti riunite produce, rispetto alla classe della curva, la stessa diminuzione che produrrebbero punti doppi ordinari ed cuspidi.
75. Da un polo condotte due trasversali a segare la curva fondamentale rispettivamente in , , se , sono i centri armonici, di primo grado, di questi due sistemi di punti rispetto ad , la retta polare di sarà . Donde segue che, se pei medesimi punti , passa una seconda linea dell’ordine , la retta sarà la polare di anche rispetto a . Imaginando ora che le due trasversali siano infinitamente vicine, arriviamo al teorema:
Se due linee dell’ordine si toccano in punti situati in una stessa retta, un punto qualunque di questa ha la medesima retta polare rispetto ad entrambe le linee date1.
La seconda linea può essere il sistema delle tangenti a negli punti ; dunque:
Un polo, che sia in linea retta con punti di una curva dell’ordine , ha la stessa retta polare rispetto alla curva e rispetto alle tangenti di questa negli punti.
Ciò torna a dire che, se una trasversale tirata ad arbitrio pel polo incontra la curva in e le tangenti in , si avrà (11):
2.
76. Sian date rette situate comunque nel piano, ed un polo ; sia la retta polare di rispetto al sistema delle rette considerato come luogo d’ordine ; e sia il punto in cui incontra . In virtù del teorema (15), è anche il centro armonico di primo grado, rispetto al polo , del sistema di punti in cui le rette date sono tagliate dalla trasversale ; dunque:
Date rette ed un polo , il punto, in cui una qualunque delle rette date incontra la retta polare di rispetto alle altre rette, giace nella retta polare di rispetto alle rette3.67
Da questo teorema, per , si ricava:
Le rette polari di un punto dato rispetto agli angoli di un trilatero incontrano i lati rispettivamente opposti in tre punti situati in una stessa retta, che è la polare del punto dato rispetto al trilatero risguardato come luogo di terz’ordine.