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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. | 387 |
Le rette doppie dell’involuzione suaccennata incontrino la tangente cuspidale in , . Siccome è un punto doppio sì per la conica polare (sempre rispetto alla cubica polare di ) di , che per la conica polare rappresentata dalla retta , così (78) la conica polare di avrà un punto doppio in ed un altro sopra , vale a dire, sarà il sistema di due rette coincidenti. Dunque le rette , costituiscono separatamente le coniche polari de’ punti , ; ossia:
Se la prima polare di ha una cuspide , nella tangente cuspidale esistono due punti , , i quali insieme con formano un triangolo, tale che ciascun lato considerato come due rette coincidenti è la conica polare del vertice opposto, relativamente alla cubica polare del punto .
80. Consideriamo ora una tangente stazionaria della data curva ed il relativo punto di contatto o flesso . Preso un polo nella tangente stazionaria e considerata questa come trasversale (68), tre punti sono riuniti nel flesso (29), epperò questo tien luogo di due centri armonici del grado e di un centro armonico del grado (16). Vale a dire, la prima polare di passa per ed ivi tocca ; e per passa anche la seconda polare di 1.
Come adunque per passa la seconda polare d’ogni punto della tangente stazionaria, così (69, a) la conica polare di conterrà tutt’i punti della tangente medesima. Dunque la conica polare di un flesso si decompone in due rette, una delle quali è la rispettiva tangente stazionaria.
Se è il punto comune alle due rette che formano la conica polare del flesso , la prima polare di avrà (78) un punto doppio in . Ossia: un flesso della curva data è un punto doppio di una prima polare, il cui polo giace nella tangente stazionaria.
Se un punto appartiene a ed ha per conica polare il sistema di due rette, esso sarà o un punto doppio o un flesso della curva data. Infatti: o le due rette passano entrambe per , e la retta polare di questo punto riesce indeterminata, cioè è un punto doppio della curva. Ovvero, una sola delle due rette passa per , ed è la tangente alla curva in questo punto (71); tutt’i punti di questa retta appartengono alle polari ma ed ma di , dunque la prima e la seconda polare di ciascun di que’ punti passa per , il che non può essere, se quella retta non ha in un contatto tripunto colla curva data (16).
81. Siccome ad ogni punto preso nel piano della curva fondamentale corrisponde una retta polare, così domandiamo: se il polo percorre una data curva d’ordine , di qual classe è la curva inviluppata dalla retta polare? ossia, quante rette polari
- ↑ {Tutte le polari d’un flesso hanno questo punto per flesso, colla medesima tangente stazionaria.}