Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/416

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search


98. Supposte date di nuovo tre curve , i cui ordini siano rispettivamente , cerchiamo di quale ordine sia il luogo di un punto nel quale concorrano le rette polari di uno stesso polo rispetto alle tre curve date. Sia una retta arbitraria, un punto qualunque di essa; se per devono passare le rette polari relative a , il polo sarà una delle intersezioni delle prime polari di rispetto a quelle due curve. Se per dee passare anche la prima polare relativa a , il polo di essa sarà nella retta polare di rispetto a questa curva; e le rette polari degli punti incontreranno in altrettanti punti .

Assunto invece ad arbitrio un punto in , se per esso dee passare la retta polare relativa a , il polo è nella prima polare di rispetto alla detta curva; la quale prima polare è una curva dell’ordine . Le rette polari dei punti di relative a inviluppano una curva della classe (81), ed analogamente le rette polari dei punti di rispetto a inviluppano un’altra curva della classe . In queste due curve-inviluppi, a ciascuna tangente dell’una corrisponde una tangente dell’altra, purché si assumano come corrispondenti quelle tangenti che sono polari di uno stesso punto di rispetto a e . Dunque (83, a) le intersezioni delle tangenti omologhe formeranno una curva dell’ordine , la quale segherà la retta in altrettanti punti .

Così a ciascun punto corrispondono punti , mentre ad ogni punto corrispondono punti . Onde la coincidenza di due punti omologhi , in avverrà volte; cioè questo numero, esprime l’ordine del luogo richiesto. Questa curva passa evidentemente pei punti comuni alle tre curve date, ov’esse ne abbiano.

(a) Quando le tre curve date siano dello stesso ordine , ad esse ponno sostituirsi altre tre curve della rete da quelle individuata, senza che venga a mutarsi il luogo dianzi considerato. Questo, che in tal caso è dell’ordine , può chiamarsi la Steineriana della rete (88, d).

(b) Data una rete di curve d’ordine , ogni punto della curva Hessiana è il polo d’infinite rette polari relative alle curve della rete, le quali rette concorrono in uno stesso punto (95) della Steineriana. In questo modo, a ciascun punto dell’Hessiana corrisponde un punto della Steineriana e reciprocamente; quindi la retta che unisce due punti corrispondenti inviluppa una terza curva della classe (83, b).

Ogni retta passante per è adunque polare del punto rispetto ad una curva della rete. Del resto, se la retta polare passa pel polo, questo giace nella curva fondamentale, che è ivi toccata dalla retta polare medesima. Ne segue che la retta tocca in una curva della rete; ma tutte le curve della rete che passano per si toccano ivi fra loro (92), dunque la comune tangente di queste curve è . [81]