Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Teoremi relativi ai sistemi di curve

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 14. Teoremi relativi ai sistemi di curve

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Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari

Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Reti geometriche

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[p. 388 modifica]

Art. XIV.

Teoremi relativi ai sistemi di curve.

83. Due serie di curve (34) si diranno projettive, quando, in virtù di una qualsiasi legge data, a ciascuna curva della prima serie corrisponda una sola curva della seconda e reciprocamente.^[1] [p. 389 modifica]

Una serie d’indice $M$ e d’ordine $m$ sia projettiva ad una serie d’indice $N$ e d’ordine $n$ ; di quale ordine è la linea luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? Ossia, in una retta trasversale arbitraria quanti punti esistono, per ciascun de’ quali passino due curve corrispondenti? Sia $a$ un punto qualunque della trasversale, pel quale passano $M$ curve della prima serie; le $M$ corrispondenti curve della seconda serie incontreranno la trasversale in $M n$ punti $a^{'}$ . Se invece si assume ad arbitrio un punto $a^{'}$ nella trasversale e si considerano le $N$ curve della seconda serie che passano per esso, le $N$ corrispondenti curve della prima serie segano la trasversale in $N m$ punti $a$ . Dunque a ciascun punto $a$ corrispondono $M n$ punti $a^{'}$ ed a ciascun punto $a^{'}$ corrispondono $N m$ punti $a$ . Cioè, se i punti $a$ , $a^{'}$ si riferiscono ad una stessa origine $o$ (fissata ad arbitrio nella trasversale), fra i segmenti $o a$ , $o a^{'}$ avrà luogo un’equazione di grado $M n$ rispetto ad $o a^{'}$ e di grado $N m$ rispetto ad $o a$ . Onde, se $a^{'}$ coincide con $a$ , si avrà un’equazione del grado $M n + N m$ in $o a$ , vale a dire, la trasversale contiene $M n + N m$ punti del luogo richiesto. Abbiamo così il teorema generale^[2]:

Date due serie proiettive di curve, l’una d’indice $M$ e d’ordine $m$ , l’altra d’indice $N$ e d’ordine $n$ , il luogo de’ punti comuni a due curve corrispondenti è una linea dell’ordine $M n + N m$ .^[3]

(a) Per $M = N = 1$ , questo teorema dà l’ordine della curva luogo delle intersezioni delle linee corrispondenti in due fasci projettivi (50). E nel caso di $m = n = 1$ si ha:

Se le tangenti di una curva della classe $M$ corrispondono projettivamente, ciascuna a ciascuna, alle tangenti di un’altra curva della classe $N$ , il luogo del punto comune a due tangenti omologhe è una linea dell’ordine $M + N$ .

(b) Analogamente si dimostra quest’altro teorema, che può anche conchiudersi da quello ora enunciato, in virtù del principio di dualità:

Se a ciascun punto di una data curva d’ordine $M$ corrisponde, in forza di una certa legge, un solo punto di un’altra curva data dell’ordine $N$ , e reciprocamente, se ad ogni punto di questa corrisponde un sol punto di quella, la retta che unisce due punti omologhi inviluppa una curva della classe $M + N$ .

84. Data una serie d’indice $N$ e d’ordine $n$ , cerchiamo di quale indice sia la serie delle polari $(r)$ ^me d’un dato punto $o$ rispetto alle curve della serie proposta. Quante polari siffatte passano per un punto qualunque, ex. gr. per lo stesso punto dato $o$ ? Le sole polari passanti pel polo $o$ sono quelle relative alle curve della data serie, che s’incrociano in $o$ , e queste sono in numero $N$ . Dunque:

Le polari $(r)$ ^me di un dato punto, rispetto alle curve d’ordine $n$ d’una serie d’indice $N$ , formano una serie d’indice $N$ e d’ordine $n - r$ . La nuova serie è projettiva alla prima. [p. 390 modifica]

(a) Per $N = 1$ si ha: le polari $(r)$ ^me di un dato punto rispetto alle curve di un fascio formano un nuovo fascio projettivo al primo^[4].^[5]

(b) Se $r = n - 1$ , si ottiene il teorema:

Le rette polari d’un punto dato rispetto alle curve d’una serie d’indice $N$ inviluppano una linea della classe $N$ .

(c) Ed in particolare, se $N = 1$ : le rette polari d’un punto dato $o$ rispetto alle curve d’un fascio concorrono in uno stesso punto $o^{'}$ e formano una stella projettiva al fascio dato^[6].

85. Data una serie d’indice $N$ e d’ordine $n$ , ed un punto $o$ , si consideri l’altra serie formata dalle prime polari di $o$ relative alle curve della serie data (84). I punti in cui una delle curve d’ordine $n$ e segata dalla relativa prima polare sono anche (70) i punti ove la prima curva è toccata da rette uscente da $o$ . Siccome poi le due serie sono projettive, così applicando ad esse il teorema generale di Jonquières (83), avremo:

Se da un punto $o$ si conducono le tangenti a tutte le curve d’ordine $n$ d’una serie d’indice $N$ , i punti di contatto giacciono in una linea dell’ordine $N (2 n - 1)$ .

Essendo il punto $o$ situato in $N$ curve della data serie, la curva luogo de’ contatti passerà $N$ volte pel punto medesimo ed ivi avrà per tangenti le rette che toccano le $N$ curve preaccennate. Ogni retta condotta per $o$ incontrerà quel luogo in altri $2 N (n - 1)$ punti, dunque:

Fra le curve d’ordine $n$ d’una serie d’indice $N$ ve ne sono $2 N (n - 1)$ che toccano una retta qualsivoglia data.

Se $N = 1$ , si ricade nel teorema (49).

86. Data una serie d’indice $N$ e d’ordine $n$ , di quale ordine è il luogo di un punto, del quale una retta data sia la polare rispetto ad alcuna delle curve della serie? Cerchiamo quanti siano in una retta qualunque, ex. gr. nella stessa retta data, i punti dotati di quella proprietà. I soli punti giacenti nella propria retta polare sono quelli ove la retta medesima tocca curve della data serie. Onde, pel teorema precedente, avremo:

Il luogo dei poli di una retta data, rispetto alle curve d’ordine $n$ d’una serie d’indice $N$ , è una linea dell’ordine $2 N (n - 1)$ .

Quando è $N = 1$ , in causa del teorema (84, c), un punto $a$ apparterrà al luogo di cui si tratta, se le sue rette polari relative alle curve date concorrano in un punto $b$ della retta data. Ma, in tal caso, le prime polari di $b$ passano per $a$ (69, a); dunque^[7]: [p. 391 modifica]

Dato un fascio d’ordine $n$ , le prime polari d’uno stesso punto rispetto alle curve del fascio formano un nuovo fascio. Se il polo percorre una retta fissa, i punti-base del secondo fascio generano una linea dell’ordine $2 (n - 1)$ , che è anche il luogo dei poli della retta data rispetto alle curve del fascio proposto.

87. Quale è il luogo di un punto che abbia la stessa retta polare rispetto ad una data curva $C_{n}$ d’ordine $n$ e ad alcuna delle curve $C_{m}$ d’una data serie d’indice $M$ ? Per risolvere il problema, cerchiamo quanti punti del luogo richiesto siano contenuti in una trasversale assunta ad arbitrio. Sia $a$ un punto qualunque della trasversale; $A$ la retta polare di $a$ rispetto a $C_{n}$ . Il luogo dei poli della retta $A$ rispetto alle curve $C_{m}$ è (86) una linea dell’ordine $2 M (m - 1)$ , che segherà la trasversale in $2 M (m - 1)$ punti $a^{'}$ . Reciprocamente: assunto ad arbitrio un punto $a^{'}$ nella trasversale, le rette polari di $a$ rispetto alle curve $C_{m}$ formano (84, b) una curva della classe $M$ , la quale ha $M (n - 1)$ tangenti comuni colla curva di classe $n - 1$ inviluppo delle rette polari de’ punti della trasversale relative a $C_{n}$ (81, a). Queste $M (n - 1)$ tangenti comuni sono polari, rispetto a $C_{n}$ , d’altrettanti punti $a$ della trasversale. Così ad ogni punto $a$ corrispondono $2 M (m - 1)$ punti $a^{'}$ ed a ciascun punto $a^{'}$ corrispondono $M (n - 1)$ punti $a$ ; dunque (83) vi saranno $2 M (m - 1) + M (n - 1)$ punti $a$ , ciascuno de’ quali coinciderà con uno de’ corrispondenti $a^{'}$ . Per conseguenza:

Il luogo di un punto avente la stessa retta polare, rispetto ad una data curva d’ordine $n$ e ad alcuna delle curve d’una serie d’indice $M$ e d’ordine $m$ , è una linea dell’ordine $M (n + 2 m - 3)$ .

(a) Se la data curva $C_{n}$ ha un punto doppio $d$ (ordinario o stazionario), la retta polare di questo punto rispetto a $C_{n}$ è indeterminata (72), onde può assumersi come tale la tangente a ciascuna delle $M$ curve $C_{m}$ passanti per $d$ . Dunque la curva d’ordine $M (n + 2 m - 3)$ , che indicheremo con $K$ , passa $M$ volte per ciascuno de’ punti doppi ordinari o stazionari della curva $C_{n}$ .^[8]

(b) Sia $d$ un punto stazionario di $C_{n}$ e si applichi alla tangente cuspidale $T$ il ragionamento dianzi fatto per un’arbitraria trasversale. Se si riflette che, nel caso attuale, l’inviluppo delle rette polari de’ punti di $T$ , rispetto a $C_{n}$ è della classe $n - 3$ (81, c), talchè ad ogni punto $a^{'}$ corrisponderanno $M (n - 3)$ punti $a$ , si vedrà che la retta $T$ , prescindendo dal punto $d$ , incontra la curva $K$ in $M (n + 2 m - 5)$ punti, ossia il punto $d$ equivale a $2 M$ intersezioni di $K$ e $T$ . Per conseguenza (32)^[9] in $d$ sono riuniti $3 M$ punti comuni alle linee $K$ e $C_{n}$ .

(c) Di qui s’inferisce che, se la data curva $C_{n}$ ha $δ$ punti doppi e $χ$ cuspidi, essa sarà incontrata dalla linea $K$ in altri $M (n (n + 2 m - 3) - 2 δ - 3 χ)$ punti. Ma questi, in virtù della definizione della linea $K$ , sono i punti ove $C_{n}$ è toccata da curve della data serie; dunque: [p. 392 modifica]

In una serie d’indice $M$ e d’ordine $m$ vi sono $M (n (n + 2 m - 3) - 2 δ - 3 χ)$ curve che toccano una data linea d’ordine $n$ , dotata di $δ$ punti doppi e $χ$ cuspidi^[10].

(d) Per $M = m = 1$ si ha:

Il numero delle rette tangenti che da un dato punto si possono condurre ad una curva d’ordine $n$ , avente $δ$ punti doppi e $χ$ cuspidi, è $n (n - 1) - 2 δ - 3 χ$ : risultato già ottenuto altrove (74, c).

88. In un fascio d’ordine $m$ quante sono le curve dotate di un punto doppio? Assunti ad arbitrio tre punti $o, o^{'}, o^{″}$ (non situati in linea retta), le loro prime polari relative alle curve del dato fascio formano (84, a) tre altri fasci projettivi d’ordine $m - 1$ , ne’ quali si considerino come curve corrispondenti le polari di $o, o^{'}, o^{″}$ rispetto ad una stessa curva del fascio proposto. Se una delle curve date ha un punto doppio, in esso s’intersecano le tre corrispondenti prime polari di $o, o^{'}, o^{″}$ (73). Dunque i punti doppi delle curve del dato fascio sono que’ punti del piano pei quali passano tre curve corrispondenti de’ tre fasci projettivi di prime polari.

Ora, il primo ed il secondo fascio, colle mutue intersezioni delle linee corrispondenti, generano (50) una curva d’ordine $2 (m - 1)$ ; ed un’altra curva dello stesso ordine è generata dal primo e terzo fascio. Queste due curve passano entrambe per gli $(m - 1)^{2}$ punti-base del primo fascio di polari; epperò esse si segheranno in altri $3 (m - 1)^{2}$ punti, i quali sono evidentemente i richiesti. Cioè:

Le curve d’ordine $m$ di un fascio hanno $3 (m - 1)^{2}$ punti doppi.

(a) Le curve date si tocchino fra loro in un punto $o$ , talchè una di esse, $C_{m}$ , abbia ivi un punto doppio (47). Il punto $o^{'}$ sia preso nella tangente comune alle curve date, ed $o^{″}$ sia affatto arbitrario. Le prime polari di $o$ relative alle curve del fascio proposto passano tutte per $o$ , ivi toccando $o o^{'}$ (71); ed una di esse, quella che si riferisce a $C_{m}$ , ha in $o$ un punto doppio (72). Anche le polari di $o^{'}$ passano tutte per $o$ (70); ma fra le polari di $o^{″}$ una sola passa per $o$ , quella cioè che corrisponde a $C_{m}$ (73).

Le polari di $o$ e quelle di $o^{'}$ generano una curva dell’ordine $2 (m - 1)$ , per la quale $o$ è un punto doppio ed $o o^{'}$ una delle relative tangenti (52, a). E le polari di $o$ con quelle di $o^{″}$ generano un’altra curva dello stesso ordine, anch’essa passante due volte per $o$ (51, b). Dunque il punto $o$ , doppio per entrambe le curve d’ordine $2 (m - 1)$ , equivale a quattro intersezioni. In $o$ le polari di questo punto si toccano, epperò gli altri punti-base del fascio da esse formato sono in numero $(m - 1)^{2} - 2$ . Oltre a questi punti e ad $o$ le due curve d’ordine $2 (m - 1)$ avranno $4 (m - 1)^{2} - 4 - ((m - 1)^{2} - 2) = 3 (m - 1)^{2} - 2$ intersezioni comuni. [p. 393 modifica]

Dunque il punto $o$ , ove si toccano le curve del dato fascio, conta per due fra i punti doppi del fascio medesimo.

(b) Suppongasi ora che nel dato fascio si trovi una curva $C_{m}$ dotata di una cuspide $o$ . Sia $o^{'}$ un punto preso nella tangente cuspidale, ed $o^{″}$ un altro punto qualsivoglia. Le prime polari di $o$ rispetto alle curve date formano un fascio, nel quale v’ha una curva (la polare relativa a $C_{m}$ ) avente una cuspide in $o$ colla tangente $o o^{'}$ (72). Alla quale curva corrispondono, nel fascio delle polari di $o^{'}$ , una curva passante due volte per $o$ (78, a), e nel fascio delle polari di $o^{″}$ , una curva passante per $o$ ed ivi toccante $o o^{'}$ (74, c). Perciò il primo ed il secondo fascio generano una curva d’ordine $2 (m - 1)$ , per la quale $o$ è un punto doppio (51, f); mentre il primo ed il terzo fascio danno nascimento ad una curva di quello stesso ordine, passante semplicemente per $o$ ed ivi toccante la retta $o o^{'}$ (51, g). Queste due curve hanno adunque due punti comuni riuniti in $o$ ; talchè, astraendo dagli $(m - 1)^{2}$ punti-base del primo fascio, le rimanenti intersezioni saranno $3 (m - 1)^{2} - 2$ .

Ossia: se in un fascio v’ha una curva dotata di una cuspide, questa conta per due fra i punti doppi del fascio.

(c) Da ultimo supponiamo che tutte le curve del fascio proposto passino per $o$ , cuspide di $C_{m}$ . Sia ancora $o^{'}$ un punto della tangente cuspidale di $C_{m}$ , e si prenda $o^{″}$ nella retta che tocca in $o$ tutte le altre curve del fascio. Le polari di $o$ passano per questo punto, toccando ivi $o o^{″}$ ed una fra esse, quella relativa a $C_{m}$ , ha una cuspide in $o$ colla tangente $o o^{'}$ (71, 72). Le polari di $o^{″}$ passano anch’esse per $o$ (70); ma una sola, quella che si riferisce a $C_{m}$ , tocca ivi $o o^{'}$ (74, c). E fra le polari di $o^{'}$ , soltanto quella che è relativa a $C_{m}$ passa per $o$ , ed invero vi passa due volte (78, a). Donde segue che le polari di $o$ ed $o^{″}$ generano una curva d’ordine $2 (m - 1)$ , per la quale $o$ è un punto doppio colle tangenti $o o^{'}, o o^{″}$ (52, a); e le polari di $o$ ed $o^{'}$ generano un’altra curva dello stesso ordine, cuspidata in $o$ colla tangente $o o^{'}$ (51, c). Pertanto le due curve così ottenute hanno in $o$ un punto doppio ed una tangente ( $o o^{'}$ ) comune, ossia hanno in $o$ cinque intersezioni riunite (32). Messi da parte il punto $o$ , nel quale tutte le polari del primo fascio si toccano, e gli altri $(m - 1)^{2} - 2$ punti-base del fascio medesimo, il numero delle rimanenti intersezioni delle due curve d’ordine $2 (m - 1)$ sarà $3 (m - 1)^{2} - 3$ .

Dunque il punto $o$ comune a tutte le curve del fascio proposto, una delle quali è ivi cuspidata, conta per tre fra i punti doppi del fascio medesimo. —^[11]

(d) Applicando il teorema generale (dimostrato al principio del presente n.°) al fascio delle prime polari de’ punti di una data retta (77), rispetto ad una curva $C_{n}$ d’ordine $n$ , si ha:

In una retta qualunque vi sono $3 (n - 2)^{2}$ punti, ciascun de’ quali ha per prima polare, rispetto ad una data linea dell’ordine $n$ , una curva dotata di un punto doppio. [p. 394 modifica]

O in altre parole, avuto anche riguardo al teorema (78):

Il luogo dei poli delle prime polari dotate di punto doppio, rispetto ad una data linea d’ordine $n$ , ossia il luogo de’ punti d’incrociamento di quelle coppie di rette che costituiscono coniche polari, è una curva dell’ordine $3 (n - 2)^{2}$ .

Questo luogo si chiamerà curva Steineriana^[12] della curva fondamentale $C_{n}$ ^[13].

(e) Se la curva fondamentale ha una cuspide $d$ , ogni punto della tangente cuspidale è polo di una prima polare avente un punto doppio in $d$ (78, a). Perciò la tangente medesima farà parte della Steineriana.

89. Le rette polari di un punto fisso rispetto alle curve d’un fascio passano tutte per un altro punto fisso (84, c). Se si considera nel fascio una curva dotata di un punto doppio $d$ , la retta polare di $d$ rispetto a questa curva è indeterminata (72); talchè le rette polari di $d$ , relativamente a tutte le altre curve del fascio, si confonderanno in una retta unica. Vale a dire:

I punti doppi delle curve d’un fascio godono della proprietà che ciascun d’essi ha la stessa retta polare rispetto a tutte le curve del fascio.

Di qui s’inferisce che (86):

Il luogo dei poli di una retta rispetto alle curve di un fascio d’ordine $m$ e una linea dell’ordine $2 (m - 1)$ passante pei $3 (m - 1)^{2}$ punti doppi del fascio.

E il luogo di un punto avente la stessa retta polare, rispetto ad una data curva $C_{n}$ e alle curve $C_{m}$ d’un fascio, è (87) una curva dell’ordine $n + 2 m - 3$ passante pei $3 (m - 1)^{2}$ punti doppi del fascio. Pertanto questi punti e quelli ove $C_{n}$ è toccata da alcuna delle $C_{m}$ giacciono tutti insieme nell’anzidetta curva d’ordine $n + 2 m - 3$ . In particolare:

Una retta data è toccata da $2 (m - 1)$ curve d’un dato fascio d’ordine $m$ . I $2 (m - 1)$ punti di contatto, insieme coi $3 (m - 1)^{2}$ punti doppi del fascio, giacciono in una curva dell’ordine $2 (m - 1)$ , luogo dei poli della retta data rispetto alle curve del fascio.

90. Dati due fasci di curve, i cui ordini siano $m$ ed $m_{1}$ , vogliamo indagare di qual ordine sia il luogo di un punto nel quale una curva del primo fascio tocchi una curva del secondo. Avanti tutto, è evidente che il luogo richiesto passa per gli $m^{2} + m_{1}^{2}$ punti-base dei due fasci; perchè, se $a$ è un punto-base del primo fascio, per esso passa una [p. 395 modifica]curva del secondo, alla quale condotta la tangente in $a$ , vi è una certa curva del primo fascio, che tocca questa retta nel punto medesimo (46). Osservisi poi che una curva del primo fascio è toccata dalle curve del secondo in $m (m + 2 m_{1} - 3)$ punti (87); laonde quella curva del primo fascio, oltre agli $m^{2}$ punti-base, contiene $m (m + 2 m_{1} - 3)$ punti del luogo richiesto, cioè in tutto $m (2 m + 2 m_{1} - 3)$ punti. Dunque il luogo di cui si tratta è dell’ordine $2 (m + m_{1}) - 3$ ; esso passa non solo pei punti-base dei due fasci, ma anche pei loro $3 (m - 1)^{2} + 3 (m_{1} - 1)^{2}$ punti doppi (88), perchè ciascuno di questi equivale a due intersezioni di una curva dell’un fascio con una dell’altro. Abbiamo così il teorema:

Dati due fasci di curve, le une d’ordine $m$ , le altre d’ordine $m_{1}$ , i punti di contatto delle une colle altre sono in una linea dell’ordine $2 (m + m_{1}) - 3$ , che passa pei punti-base e pei punti doppi dei due fasci.

(a) Suppongasi che le curve dei due fasci siano prime polari relative ad una data curva fondamentale $C_{n}$ d’ordine $n$ , epperò pongasi $m = m_{1} = n - 1$ . I punti-base de’ due fasci sono i poli di due rette (77), talchè giacciono tutti insieme nella prima polare del punto comune a queste rette medesime (69, a): vale a dire, i due fasci hanno, in questo caso, una curva comune. Tale curva comune fa evidentemente parte del luogo dianzi determinato, onde, astraendo da essa, rimane una curva dell’ordine $4 (n - 1) - 3 - (n - 1) = 3 (n - 2)$ , passante pei punti doppi de’ fasci dati, qual luogo de’ punti di contatto fra le curve dell’uno e le curve dell’altro fascio. Questa curva dell’ordine $3 (n - 2)$ non cambia, se altri fasci di prime polari sostituiscansi ai due dati; infatti, siccome tutte le prime polari passanti per un dato punto hanno altri $(n - 1)^{2} - 1$ punti comuni e formano un fascio (77, a), così, se due prime polari si toccano in quel punto, anche tutte le altre hanno ivi la stessa tangente.

Di qui s’inferisce che la curva luogo de’ punti di contatto fra due prime polari contiene i punti doppi di tutti i fasci di prime polari, e per conseguenza, avuto riguardo al teorema (78), è anche il luogo dei poli di quelle coniche polari che si risolvono in due rette. Cioè:

Il luogo di un punto nel quale si tocchino due (epperò infinite) prime polari relative ad una data curva d’ordine $n$ , è una linea dell’ordine $3 (n - 2)$ , la quale può anche definirsi come luogo dei punti doppi delle prime polari, e come luogo di un polo la cui conica polare sia una coppia di rette.

A questa linea si dà il nome di Hessiana della data curva fondamentale, perchè essa offre l’interpretazione geometrica di quel covariante che Sylvester chiamò Hessiano (dal nome del sig. Hesse), cioè del determinante formato colle derivate seconde parziali di una data forma omogenea a tre variabili^[14]. [p. 396 modifica]

(b) I punti in cui si segano le prime polari di due punti $o, o^{'}$ sono i poli della retta $o o^{'}$ (77); talchè, se le due prime polari si toccano, la retta $o o^{'}$ ha due poli riuniti nel punto di contatto. Se adunque conveniamo di chiamar congiunti gli $(n - 1)^{2}$ poli di una medesima retta, potremo dire:

L’Hessiana è il luogo di un polo che coincida con uno de’ suoi poli congiunti.

(c) Chiamate indicatrici di un punto le due rette tangenti che da esso ponno condursi alla sua conica polare, si ottiene quest’altro enunciato:

La curva fondamentale e l’Hessiana costituiscono insieme il luogo di un punto, le due indicatrici del quale si confondono in una retta unica.

91. Dati tre fasci di curve, i cui ordini siano $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ , in quanti punti si toccano a tre a tre? I punti in cui si toccano a due a due le curve de’ primi due fasci sono (90) in una linea dell’ordine $2 (m_{1} + m_{2}) - 3$ ; ed analogamente il luogo de’ punti di contatto fra le curve del primo e le curve del terzo fascio è un’altra linea dell’ordine $2 (m_{1} + m_{3}) - 3$ . Le due linee hanno in comune i punti-base ed i punti doppi del primo fascio, cioè $m_{1}^{2} + 3 (m_{1} - 1)^{2}$ punti estranei alla questione, talchè esse si segheranno in altri $(2 (m_{1} + m_{2}) - 3) (2 (m_{1} + m_{3}) - 3) - (m_{1}^{2} + 3 (m_{1} - 1)^{2})$ $= 4 (m_{2} m_{3} + m_{3} m_{1} + m_{1} m_{2}) - 6 (m_{1} + m_{2} + m_{3} - 1)$ punti. E questi sono evidentemente i richiesti.

(a) Posto $m_{3} = 1$ , si ha:

Le tangenti comuni ne’ punti ove si toccano le curve di due fasci, i cui ordini siano $m_{1}, m_{2}$ , inviluppano una linea della classe $4 m_{1} m_{2} - 2 (m_{1} + m_{2})$ .

(b)^[15] Se le curve de’ due fasci sono prime polari relative ad una data linea $C_{n}$ d’ordine $n$ , onde $m_{1} = m_{2} = n - 1$ , i due fasci hanno una curva comune (90, a) la quale è dell’ordine $n - 1$ , epperò (70) della classe $(n - 1) (n - 2)$ . È evidente che questa curva fa parte dell’inviluppo dianzi accennato; talchè questo conterrà inoltre una curva della classe $3 (n - 1) (n - 2)$ , cioè:

Le tangenti comuni ne’ punti di contatto fra le prime polari relative ad una data curva d’ordine $n$ inviluppano una linea della classe $3 (n - 1) (n - 2)$ ^[16].

Note

↑ [p. 499 modifica]Qui vale quella stessa osservazione che, pel n. 7, s’è fatta nella nota [⁴²]. Bisogna aggiungere, ad esempio, la condizione che la legge data sia algebrica.
↑ Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 117.
↑ [p. 500 modifica]Nella traduzione tedesca (Einleitung, pag. 117), è detto invece che quel luogo è «im Allgemeinen höchstens von der $(M n + N m)$ —ten Ordnung». E subito dopo è aggiunto:
Wir sagen «Im Allgemeinen höchstens» weil verschiedene Umstände die Ordnung der resultierenden Curve erniedrigen können. Z. B., wenn die beiden Reihen singuläre correspondierende Elementepaare enthalten. Die Grösze $M n + N m$ musz man also vielmehr als eine obere Grenze betrachten, wie als eine absolute Zahl. Im Folgenden Nr. 111 bis werden wir hierzu in der Theorie der Kegelschnitte bemerkenswerte Beispiele betrachten.
(Il n. 111 bis accennato è dato, per la parte a cui qui si allude, nella Memoria 47 di queste Opere). Vi è inoltre, a questo punto della Einleitung, la citazione a piè di pagina:
«Man sehe auch einen Brief Jonquières’ an den Verfaszer im Giornale di Matematiche ad uso etc., Napoli 1863 [t.1.º], p. 128, sowie Bemerkungen über Curvenreihen von beliebigem Index von G. Battaglini (Grunerts Archiv t. 41, Heft 1, S. 26) [= Sulle serie di curve d’indice qualunque, Rendiconti Accademia delle scienze di Napoli, t. 2, 1863, p. 149].
La stessa modificazione (ripudiata poi, come diremo subito, dal Cremona), consistente nell’aggiunta delle parole «im Allgemeinen höchstens», è fatta nella Einleitung, a quegli enunciati dei successivi nn. 85, 86, 87, che assegnano numeri (specialmente ordini di luoghi) relativi a serie di curve d’indice $N$ . — Questi cambiamenti son rilevati in modo particolare nella prefazione di M. Curtze alla Einleitung.
La lettera del De Jonquières, a cui si riferisce la citazione a piè di pagina testè riportata, è data nel Giornale, sotto il titolo «Corrispondenza», preceduta dalle parole: «Il Prof. Cremona ci prega di pubblicare la seguente lettera, a lui diretta dal chiarissimo sig. de Jonquières». In essa questo geometra dice che i teoremi sui sistemi di curve d’indice $N$ da lui publicati nella Memoria del 1861 (citata in questa Introduzione, n. 34, ecc.) «Théorèmes généraux etc.» sono enunciati in termini troppo assoluti, danno solo dei limiti superiori per i numeri di cui si tratta. «Il faut donc ajouter à la plupart de ces théorèmes ces mots: en général et au plus». — Alla lettera il Cremona fa seguire questa sua avvertenza:
Non potendo ora occuparmi dell’argomento, colla pubblicazione di questa lettera dell’esimio geometra francese, intendo anche di mettere in guardia i giovani lettori della mia Introduzione contro le magagne dei teoremi che concernono le serie di curve d’indice qualsivoglia. (Bologna, 16 aprile 1863).
Com’è esposto più diffusamente nell’articolo di C. Segre, Intorno alla storia del principio di corrispondenza e dei sistemi di curve (Bibliotheca mathematica, 2.ª serie, t. 6, 1892, pag. 33), i dubbi del De Jonquières, accolti provvisoriamente dal Cremona, erano derivati da qualche osservazione fatta a quello scienziato dallo Chasles; e dipendevano da ciò che il metodo di dimostrazione del De Jonquières (adottato pure dal Cremona in questo n. 83 e nel seguito), ossia l’uso del principio di corrispondenza (come poi fu chiamato dallo Chasles), era basato sulla considerazione del grado di un’equazione, (così, nel teorema generale del n. 83 da cui abbiam preso le mosse, si aveva un’equazione del grado $M n + N m$ ); e Chasles obiettava che [p. 501 modifica]quel grado potrebbe abbassarsi. — Ma presto Cremona riesciva a togliere quest’obiezione, ed a ridare con ciò il loro primitivo valore ai teoremi sui sistemi di curve. In una lettera al De Jonquières, datata «Bologne, 29 Janvier 1864», (che fu poi parzialmente publicata a p. 14-16 di un opuscolo litografato «Documents relatifs à une revendication de priorité et Réponse à quelques critiques nouvelles de M. Chasles, par M. E. De Jonquières, Paris le 4 Février 1867»), egli così si esprimeva:
...Je vous serai fort obligé d’avoir la patience de lire ces lignes, et de me communiquer votre sentiment à ce propos.
Pardonnez-moi si j’ose prendre, devant vous, la défense de vos théorèmes, mais je ne cherche qu’à être convaincu et à séparer la vérité de l’erreur. Si l’objection contenue dans votre dernière lettre est la seule qu’on puisse élever contre vos théorèmes, je ne vois pas pourquoi l’on doute de leur exactitude ou de la solidité de leur démonstration.
[Qui De Jonquières avverte: «Il rappelle ensuite les éléments de la question, où il s'agit de prouver que les courbes correspondantes de deux séries projectives de degré $m$ , $n$ et d’indices $M$ , $N$ se coupent sur une courbe de degré $m N + n M$ , et il ajoute:»]
Si l’on cherche l’ordre du lieu par la méthode dont vous et moi nous avons fait usage, il me parait évident que le terme $K x^{N m} . y^{M n}$ ne pourra pas manquer, en général. S’il manquait, il faudrait supposer qu’à $x = \infty$ corresponde [une ou] plusieurs fois $y = \infty$ , et par conséquent ou la droite à l’infini ferait partie du lieu, ou la transversale sur laquelle on considère les points $x$ et $y$ rencontrerait le lieu à l’infini: deux hypothèses également inadmissibles en général...
Certainement rien n’empêche de regarder le nombre obtenu comme une limite supérieure; mais je ne vois pas qu’il soit inexact, de l’énoncer même comme un nombre absolu. C’est ce qui arrive dans presque toutes les questions de géométrie où il s’agit de l’ordre ou de la classe d’une courbe ou d’une surface, y compris le cas des faisceaux ou des séries de droites...
Je vous prie vivement d’accueillir avec indulgence ces idées et de les combattre si elles ne vous semblent pas justes. J’aspire uniquement à être convaincu de mon erreur. Je vous prie de me dire si vous et M. Chasles avez d’autres raisons pour douter de la rigueur de ces démonstrations, et principalement de me dire pourquoi notre grand maître, M. Chasles, doute absolument de l’exactitude des théorèmes dont il s’agit. Je suis dans la plus grande perplexité; je doute de moi-même; je me confie en vous pour être rassuré ou détrompé...
Priez M. Chasles d’agréer mes civilités, et engagez-le à pousser l’impression de ses coniques, et à publier ses autres mémoires sur la théorie générale des courbes, dont vous m’avez inspiré la plus grande curiosité.
Il De Jonquières accolse le idee del Cremona, e nel Journal de mathém., 2.^e sèrie, t. 10 [p. 502 modifica](1865) p. 412, ritirò le restrizioni che «dans un moment de précipitation» aveva creduto di dover aggiungere alla sua Memoria del 1861.
↑ Bobillier, Recherches sur les lois qui régissent les lignes etc. (Annales de Gergonne, t. 18, Nismes 1827-28, p. 256).
↑ [p. 502 modifica]Qui l’A. segnò in margine: «Questo teorema si concluda meglio dal n. 23 e dal 49».
↑ {Se $o$ si muove in una retta, $o^{'}$ descrive una curva d'ordine $2 (n - 1)$ .}
↑ Bobillier, ibidem.
↑ [p. 502 modifica]Questo ragionamento è imperfetto. Conviene, per ciò che occorre poi, modificarlo nel modo seguente:
Le prime polari rispetto a $C_{n}$ dei punti di una retta $A$ passante per $d$ hanno in $d$ per tangente comune la retta $A^{'}$ armonica di $A$ rispetto alle due tangenti $T$ , $U$ di $C_{n}$ in $d$ (73); sicchè il punto successivo a $d$ su $A^{'}$ ha come retta polare $A$ .
Si prenda ora come retta $A$ successivamente ciascuna delle $M$ tangenti in $d$ alle $M$ curve $C_{m}$ della data serie, le quali passano per $d$ . Costruendo le $M$ rette armoniche di queste tangenti rispetto alla coppia $T U$ , avremo $M$ direzioni secondo cui il luogo $K$ passa per $d$ .
$K$ passa dunque per $d$ con $M$ rami, corrispondentemente alle $M$ curve $C_{m}$ passanti per $d$ . Se $T$ e $U$ coincidono, per essere $d$ punto stazionario di $C_{n}$ , coincideranno in $T$ anche le $M$ armoniche ora nominate, ossia le $M$ tangenti in $d$ a $K$ .
↑ [p. 502 modifica]La proposizione del n. 32, che qui s’invoca, non era esatta, come abbiam rilevato nella nota [⁴⁷]. Tuttavia il risultato a cui ora si giunge è vero. Infatti (v. la fine dell’ultima nota) $K$ passa pel punto stazionario $d$ di $C_{n}$ con $M$ rami (completi), aventi tutti per tangente la tangente $T$ di $C_{n}$ : laonde in $d$ saranno riunite appunto $3 M$ intersezioni di $K$ e $C_{n}$ .
↑ Bischoff, Einige Sätze über die Tangenten algebraischer Curven (Giornale Crelle-Borchardt, t. 56, Berlino 1859, p. 172). — Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 120.
↑ [p. 502 modifica]Proposizioni più generali che quelle di questo n. 88, intorno all’influenza di particolari punti sul numero complessivo dei punti doppi delle curve di un fascio, si troveranno nei nn. 8-12 della Memoria 53.
↑ Dal nome del grande geometra alemanno che primo, a quanto io so, la fece conoscere.
↑ {Se la prima polare di $o$ ha un punto doppio $p$ , ne segue:
1º) che tutte le prime polari passanti per $p$ avranno ivi una tangente comune. Il punto ove questa incontra la retta polare di $p$ avrà la sua prima e la seconda polare passanti per $p$ . Ma il punto dotato di questa proprietà è $o$ ; dunque la tangente comune è $p o$ .
2º) La prima polare di un altro punto qualunque rispetto a quella di $o$ passerà per $p$ ; dunque le prime polari di $o$ rispetto alle prime polari di tutti i punti del piano passano per $p$ ; e conseguentemente le rette polari di $p$ rispetto alle prime polari di tutti i punti del piano passeranno per $o$ .}
↑ Sylvester, On a theory of the syzygetic relations of two rational integral functions (Philosophical Transactions, vol. 143, part 3, London 1853, p. 545).
↑ [p. 502 modifica]In un foglietto manoscritto del Cremona è detto di modificare la parte che segue nel testo, così:
(b) Se i due fasci sono dello stesso ordine $m$ , e se hanno una curva comune, questa farà parte dell’inviluppo dianzi ottenuto. Togliendo la curva comune, la quale, supposta priva di punti multipli, sarà della classe $m (m - 1)$ , rimane una curva della classe $4 m^{2} - 4 m - m (m - 1)$ $= 3 m (m - 1)$ ; cioè:
Le tangenti comuni nei punti ove si toccano le curve di due fasci d’ordine $m$ , aventi una curva comune, inviluppano una linea della classe $3 m (m - 1)$ .
(c) L’ipotesi precedente si verifica nel caso che i due fasci siano formati da prime polari relative ad una data curva fondamentale d’ordine $n$ , onde $m = n - 1$ . Allora:
Le tangenti comuni ne’ punti di contatto ecc. ecc. [come nel testo].
↑ Steiner, l. c. p. 4-6.

[1] [p. 499 modifica]Qui vale quella stessa osservazione che, pel n. 7, s’è fatta nella nota [⁴²]. Bisogna aggiungere, ad esempio, la condizione che la legge data sia algebrica.

[2] Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 117.

[3] [p. 500 modifica]Nella traduzione tedesca (Einleitung, pag. 117), è detto invece che quel luogo è «im Allgemeinen höchstens von der $(M n + N m)$ —ten Ordnung». E subito dopo è aggiunto:
Wir sagen «Im Allgemeinen höchstens» weil verschiedene Umstände die Ordnung der resultierenden Curve erniedrigen können. Z. B., wenn die beiden Reihen singuläre correspondierende Elementepaare enthalten. Die Grösze $M n + N m$ musz man also vielmehr als eine obere Grenze betrachten, wie als eine absolute Zahl. Im Folgenden Nr. 111 bis werden wir hierzu in der Theorie der Kegelschnitte bemerkenswerte Beispiele betrachten.
(Il n. 111 bis accennato è dato, per la parte a cui qui si allude, nella Memoria 47 di queste Opere). Vi è inoltre, a questo punto della Einleitung, la citazione a piè di pagina:
«Man sehe auch einen Brief Jonquières’ an den Verfaszer im Giornale di Matematiche ad uso etc., Napoli 1863 [t.1.º], p. 128, sowie Bemerkungen über Curvenreihen von beliebigem Index von G. Battaglini (Grunerts Archiv t. 41, Heft 1, S. 26) [= Sulle serie di curve d’indice qualunque, Rendiconti Accademia delle scienze di Napoli, t. 2, 1863, p. 149].
La stessa modificazione (ripudiata poi, come diremo subito, dal Cremona), consistente nell’aggiunta delle parole «im Allgemeinen höchstens», è fatta nella Einleitung, a quegli enunciati dei successivi nn. 85, 86, 87, che assegnano numeri (specialmente ordini di luoghi) relativi a serie di curve d’indice $N$ . — Questi cambiamenti son rilevati in modo particolare nella prefazione di M. Curtze alla Einleitung.
La lettera del De Jonquières, a cui si riferisce la citazione a piè di pagina testè riportata, è data nel Giornale, sotto il titolo «Corrispondenza», preceduta dalle parole: «Il Prof. Cremona ci prega di pubblicare la seguente lettera, a lui diretta dal chiarissimo sig. de Jonquières». In essa questo geometra dice che i teoremi sui sistemi di curve d’indice $N$ da lui publicati nella Memoria del 1861 (citata in questa Introduzione, n. 34, ecc.) «Théorèmes généraux etc.» sono enunciati in termini troppo assoluti, danno solo dei limiti superiori per i numeri di cui si tratta. «Il faut donc ajouter à la plupart de ces théorèmes ces mots: en général et au plus». — Alla lettera il Cremona fa seguire questa sua avvertenza:
Non potendo ora occuparmi dell’argomento, colla pubblicazione di questa lettera dell’esimio geometra francese, intendo anche di mettere in guardia i giovani lettori della mia Introduzione contro le magagne dei teoremi che concernono le serie di curve d’indice qualsivoglia. (Bologna, 16 aprile 1863).
Com’è esposto più diffusamente nell’articolo di C. Segre, Intorno alla storia del principio di corrispondenza e dei sistemi di curve (Bibliotheca mathematica, 2.ª serie, t. 6, 1892, pag. 33), i dubbi del De Jonquières, accolti provvisoriamente dal Cremona, erano derivati da qualche osservazione fatta a quello scienziato dallo Chasles; e dipendevano da ciò che il metodo di dimostrazione del De Jonquières (adottato pure dal Cremona in questo n. 83 e nel seguito), ossia l’uso del principio di corrispondenza (come poi fu chiamato dallo Chasles), era basato sulla considerazione del grado di un’equazione, (così, nel teorema generale del n. 83 da cui abbiam preso le mosse, si aveva un’equazione del grado $M n + N m$ ); e Chasles obiettava che [p. 501 modifica]quel grado potrebbe abbassarsi. — Ma presto Cremona riesciva a togliere quest’obiezione, ed a ridare con ciò il loro primitivo valore ai teoremi sui sistemi di curve. In una lettera al De Jonquières, datata «Bologne, 29 Janvier 1864», (che fu poi parzialmente publicata a p. 14-16 di un opuscolo litografato «Documents relatifs à une revendication de priorité et Réponse à quelques critiques nouvelles de M. Chasles, par M. E. De Jonquières, Paris le 4 Février 1867»), egli così si esprimeva:
...Je vous serai fort obligé d’avoir la patience de lire ces lignes, et de me communiquer votre sentiment à ce propos.
Pardonnez-moi si j’ose prendre, devant vous, la défense de vos théorèmes, mais je ne cherche qu’à être convaincu et à séparer la vérité de l’erreur. Si l’objection contenue dans votre dernière lettre est la seule qu’on puisse élever contre vos théorèmes, je ne vois pas pourquoi l’on doute de leur exactitude ou de la solidité de leur démonstration.
[Qui De Jonquières avverte: «Il rappelle ensuite les éléments de la question, où il s'agit de prouver que les courbes correspondantes de deux séries projectives de degré $m$ , $n$ et d’indices $M$ , $N$ se coupent sur une courbe de degré $m N + n M$ , et il ajoute:»]
Si l’on cherche l’ordre du lieu par la méthode dont vous et moi nous avons fait usage, il me parait évident que le terme $K x^{N m} . y^{M n}$ ne pourra pas manquer, en général. S’il manquait, il faudrait supposer qu’à $x = \infty$ corresponde [une ou] plusieurs fois $y = \infty$ , et par conséquent ou la droite à l’infini ferait partie du lieu, ou la transversale sur laquelle on considère les points $x$ et $y$ rencontrerait le lieu à l’infini: deux hypothèses également inadmissibles en général...
Certainement rien n’empêche de regarder le nombre obtenu comme une limite supérieure; mais je ne vois pas qu’il soit inexact, de l’énoncer même comme un nombre absolu. C’est ce qui arrive dans presque toutes les questions de géométrie où il s’agit de l’ordre ou de la classe d’une courbe ou d’une surface, y compris le cas des faisceaux ou des séries de droites...
Je vous prie vivement d’accueillir avec indulgence ces idées et de les combattre si elles ne vous semblent pas justes. J’aspire uniquement à être convaincu de mon erreur. Je vous prie de me dire si vous et M. Chasles avez d’autres raisons pour douter de la rigueur de ces démonstrations, et principalement de me dire pourquoi notre grand maître, M. Chasles, doute absolument de l’exactitude des théorèmes dont il s’agit. Je suis dans la plus grande perplexité; je doute de moi-même; je me confie en vous pour être rassuré ou détrompé...
Priez M. Chasles d’agréer mes civilités, et engagez-le à pousser l’impression de ses coniques, et à publier ses autres mémoires sur la théorie générale des courbes, dont vous m’avez inspiré la plus grande curiosité.
Il De Jonquières accolse le idee del Cremona, e nel Journal de mathém., 2.^e sèrie, t. 10 [p. 502 modifica](1865) p. 412, ritirò le restrizioni che «dans un moment de précipitation» aveva creduto di dover aggiungere alla sua Memoria del 1861.

[4] Bobillier, Recherches sur les lois qui régissent les lignes etc. (Annales de Gergonne, t. 18, Nismes 1827-28, p. 256).

[5] [p. 502 modifica]Qui l’A. segnò in margine: «Questo teorema si concluda meglio dal n. 23 e dal 49».

[6] {Se $o$ si muove in una retta, $o^{'}$ descrive una curva d'ordine $2 (n - 1)$ .}

[7] Bobillier, ibidem.

[8] [p. 502 modifica]Questo ragionamento è imperfetto. Conviene, per ciò che occorre poi, modificarlo nel modo seguente:
Le prime polari rispetto a $C_{n}$ dei punti di una retta $A$ passante per $d$ hanno in $d$ per tangente comune la retta $A^{'}$ armonica di $A$ rispetto alle due tangenti $T$ , $U$ di $C_{n}$ in $d$ (73); sicchè il punto successivo a $d$ su $A^{'}$ ha come retta polare $A$ .
Si prenda ora come retta $A$ successivamente ciascuna delle $M$ tangenti in $d$ alle $M$ curve $C_{m}$ della data serie, le quali passano per $d$ . Costruendo le $M$ rette armoniche di queste tangenti rispetto alla coppia $T U$ , avremo $M$ direzioni secondo cui il luogo $K$ passa per $d$ .
$K$ passa dunque per $d$ con $M$ rami, corrispondentemente alle $M$ curve $C_{m}$ passanti per $d$ . Se $T$ e $U$ coincidono, per essere $d$ punto stazionario di $C_{n}$ , coincideranno in $T$ anche le $M$ armoniche ora nominate, ossia le $M$ tangenti in $d$ a $K$ .

[9] [p. 502 modifica]La proposizione del n. 32, che qui s’invoca, non era esatta, come abbiam rilevato nella nota [⁴⁷]. Tuttavia il risultato a cui ora si giunge è vero. Infatti (v. la fine dell’ultima nota) $K$ passa pel punto stazionario $d$ di $C_{n}$ con $M$ rami (completi), aventi tutti per tangente la tangente $T$ di $C_{n}$ : laonde in $d$ saranno riunite appunto $3 M$ intersezioni di $K$ e $C_{n}$ .

[10] Bischoff, Einige Sätze über die Tangenten algebraischer Curven (Giornale Crelle-Borchardt, t. 56, Berlino 1859, p. 172). — Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 120.

[11] [p. 502 modifica]Proposizioni più generali che quelle di questo n. 88, intorno all’influenza di particolari punti sul numero complessivo dei punti doppi delle curve di un fascio, si troveranno nei nn. 8-12 della Memoria 53.

[12] Dal nome del grande geometra alemanno che primo, a quanto io so, la fece conoscere.

[13] {Se la prima polare di $o$ ha un punto doppio $p$ , ne segue:
1º) che tutte le prime polari passanti per $p$ avranno ivi una tangente comune. Il punto ove questa incontra la retta polare di $p$ avrà la sua prima e la seconda polare passanti per $p$ . Ma il punto dotato di questa proprietà è $o$ ; dunque la tangente comune è $p o$ .
2º) La prima polare di un altro punto qualunque rispetto a quella di $o$ passerà per $p$ ; dunque le prime polari di $o$ rispetto alle prime polari di tutti i punti del piano passano per $p$ ; e conseguentemente le rette polari di $p$ rispetto alle prime polari di tutti i punti del piano passeranno per $o$ .}

[14] Sylvester, On a theory of the syzygetic relations of two rational integral functions (Philosophical Transactions, vol. 143, part 3, London 1853, p. 545).

[15] [p. 502 modifica]In un foglietto manoscritto del Cremona è detto di modificare la parte che segue nel testo, così:
(b) Se i due fasci sono dello stesso ordine $m$ , e se hanno una curva comune, questa farà parte dell’inviluppo dianzi ottenuto. Togliendo la curva comune, la quale, supposta priva di punti multipli, sarà della classe $m (m - 1)$ , rimane una curva della classe $4 m^{2} - 4 m - m (m - 1)$ $= 3 m (m - 1)$ ; cioè:
Le tangenti comuni nei punti ove si toccano le curve di due fasci d’ordine $m$ , aventi una curva comune, inviluppano una linea della classe $3 m (m - 1)$ .
(c) L’ipotesi precedente si verifica nel caso che i due fasci siano formati da prime polari relative ad una data curva fondamentale d’ordine $n$ , onde $m = n - 1$ . Allora:
Le tangenti comuni ne’ punti di contatto ecc. ecc. [come nel testo].

[16] Steiner, l. c. p. 4-6.

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