Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/418

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search


è anche l'Hessiana di (90, a; 92), passa due volte per ed ivi ha le due tangenti comuni colla prima polare del punto stesso (96, d), cioè ha le tangenti comuni colla curva data (72). Dunque il punto equivale (32) a sei intersezioni dell'Hessiana con ossia ogni punto doppio fa perdere a questa curva sei flessi.

Ora s'imagini che abbia una cuspide , e sia la tangente cuspidale. In questo caso tutte le prime polari relative a passano per ed ivi sono toccate dalla retta (74, c) ; [inoltre la prima polare di ha ivi una cuspide, con per tangente cuspidale (72)] [82]; epperò l'Hessiana ha tre rami passanti per , due de' quali hanno per tangente (97, d). Dunque il punto equivale ad otto intersezioni dell' Hessiana con , ossia ogni cuspide fa perdere a questa curva otto flessi.1

Quindi, se ha punti doppi e cuspidi, il numero de' flessi ossia delle tangenti stazionarie sarà dato dalla formola:

3)
.

E pel principio di dualità, se una curva della classe ha tangenti doppie ed tangenti stazionarie, essa avrà

4)

punti stazionari.

Le quattro equazioni così trovate equivalgono però a tre sole indipendenti ; infatti, sottraendo la 1) moltiplicata per 3 dalla 3), si ha la

5)
,

equazione che può essere dedotta nello stesso modo anche dalle 2), 4).

Così fra i sei numeri si hanno tre equazioni indipendenti, onde, dati tre, si possono determinare gli altri tre. Per esempio, dati , il valore di si ottiene eliminando ed fra le 1), 2), 3); e si ha:

6)
.

Una formola assai utile si ottiene sottraendo la 2) dalla 1), ed eliminando dal risultato mediante la 5):

7)
.
  1. Cayley, Recherches sur l'élimination et sur la théorie des courbes (Giornale di Crelle, t. 34, Berlino 1847, p. 43).