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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

e $\chi$ cuspidi, la retta polare (relativa alla conica fondamentale ${\rm {C_{2}}}$) inviluppa una seconda curva della classe $m$, dotata di $\delta$ tangenti doppie e $\chi$ flessi, la quale è anche il luogo dei poli delle rette tangenti a ${\rm {C_{m}}}$ (103). Le due curve diconsi polari reciproche.

(a) Se la conica fondamentale ${\rm {C_{2}}}$ è il sistema di due rette concorrenti in un punto $i$, la polare d’ogni punto $o$ passa per $i$, ed invero essa è la coniugata armonica di $oi$ rispetto al pajo di rette costituenti la conica (73, b); ma la polare del punto $i$ è indeterminata (72), cioè qualunque retta nel piano può essere considerata come polare di $i$. Donde segue che ogni retta passante per $i$ ha infiniti poli tutti situati in un’altra retta passante per $i$, mentre una retta non passante per $i$ ha per unico polo questo punto. Perciò se è data una curva della classe $r$, considerata come inviluppo di rette, la sua polare reciproca, ossia il luogo dei poli delle sue tangenti, sarà il sistema di $r$ rette passanti per $i$ e ordinatamente coniugate armoniche (rispetto alle due rette onde consta ${\rm {C_{2}}}$) di quelle $r$ tangenti che si possono condurre da $i$ alla curva data.

(a') Se la conica fondamentale ${\rm {C_{2}}}$, risguardata come inviluppo di seconda classe, è una coppia di punti $oo'$, il polo di ogni retta ${\rm {R}}$ giace nella retta $oo'$, e questa è divisa armonicamente dal polo e dalla polare. Però il polo della retta $oo'$ è indeterminato, cioè qualunque punto del piano può essere assunto come polo di quella retta. Ond’è che ogni punto della retta $oo'$ ha infinite polari tutte incrociantisi in un altro punto della medesima retta; mentre un punto qualunque esterno alla $oo'$ non ha altra polare che questa retta. Dunque, se è data una curva dell’ordine $r$, la sua polare reciproca, cioè l’inviluppo delle polari de’ suoi punti, è il sistema di $r$ punti situati in linea retta con $oo'$, i quali sono, rispetto a questi due, i coniugati armonici di quelli ove la curva data incontra la retta $oo'$.

(b) Nell’ipotesi (a) è evidente che ogni trilatero coniugato avrà un vertice in $i$, e due lati formeranno un sistema armonico colle due rette costituenti la conica fondamentale. Viceversa, se un trilatero dato è coniugato ad una conica che sia un pajo di rette, queste dovranno tagliarsi in un vertice e formare un fascio armonico con due lati del trilatero medesimo; e in particolare, un lato di questo, considerato come il sistema di due rette coincidenti, terrà luogo di una conica coniugata al trilatero. Per conseguenza, le tre rette costituenti il trilatero contengono i punti doppi delle coniche ad esso coniugate, ossia (92; 108, e) l’Hessiana della rete formata dalle coniche coniugate ad un trilatero dato è il trilatero medesimo.

111. In virtù del teorema generale (110), la polare reciproca di una conica ${\rm {K}}$ rispetto ad un’altra conica ${\rm {C_{2}}}$ è una terza conica ${\rm {K'}}$; le due curve ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ avendo tra loro tal relazione che le tangenti di ciascuna sono le polari dei punti dell’altra rispetto a ${\rm {C_{2}}}$. Ne’ quattro punti comuni a ${\rm {K}}$, la conica fondamentale ${\rm {C_{2}}}$ è toccata dalle quattro