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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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tangenti comuni a ${\rm {K'}}$; dunque (108, d) le tre coniche ${\rm {C_{2},\,K,\,K'}}$ sono coniugate ad uno stesso triangolo.

(a) Se ${\rm {R}}$ è la polare di un punto $r$ rispetto a ${\rm {K}}$, e se $r'$, ${\rm {R'}}$ sono il polo e la polare di ${\rm {R}}$, $r$ rispetto a ${\rm {C_{2}}}$, è evidente che $r'$ sarà il polo di ${\rm {R'}}$ rispetto a ${\rm {K'}}$.

(b) I punti comuni a ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ sono i poli, rispetto a ${\rm {C_{2}}}$, delle tangenti comuni alle medesime coniche. Donde segue che, se più coniche sono circoscritte ad uno stesso quadrangolo, le loro polari reciproche saranno inscritte in uno stesso quadrilatero. E siccome le prime coniche sono incontrate da una trasversale arbitraria in coppie di punti formanti un’involuzione, così le tangenti condotte da un punto qualunque alle coniche inscritte in un quadrilatero sono pur accoppiate involutoriamente.

(c) Se sono date a priori entrambe le coniche ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$, le quali si seghino ne’ punti $abcd$ ed abbiano le tangenti comuni ${\rm {ABCD}}$, la conica rispetto alla quale ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ sono polari reciproche dovrà essere coniugata (111) al triangolo formato dai punti diagonali del quadrangolo $abcd$ e dalle diagonali del quadrilatero ${\rm {ABCD}}$ (108, c). Per determinare completamente questa conica, basterà aggiungere la condizione che il punto $a$ sia, rispetto ad essa, il polo di una delle quattro rette ${\rm {ABCD}}$ (108, f). Donde segue esservi quattro coniche, rispetto a ciascuna delle quali due coniche date sono polari reciproche.

(d) Date due coniche ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ la prima di esse sia circoscritta ad un triangolo $pqr$ coniugato alla seconda. Se ${\rm {C_{2}}}$ è una conica rispetto a cui le date siano polari reciproche, e se le rette ${\rm {PQR}}$ sono le polari de’ punti $pqr$ rispetto a ${\rm {C_{2}}}$, il trilatero ${\rm {PQR}}$ sarà circoscritto a ${\rm {K'}}$. Ma il triangolo $pqr$ è supposto coniugato a ${\rm {K'}}$; dunque (a) il trilatero ${\rm {PQR}}$ sarà coniugato a ${\rm {K}}$. Ossia:

Se una conica è circoscritta ad un triangolo coniugato ad una seconda conica, viceversa questa è inscritta in un trilatero coniugato alla prima; e reciprocamente¹.

Quindi, avuto riguardo al doppio enunciato (108, g):

Se una conica è inscritta in un triangolo coniugato ad un’altra conica (ossia, se questa è circoscritta ad un triangolo coniugato a quella), la polare reciproca della seconda conica rispetto alla prima è l’inviluppo di una retta che tagli armonicamente le due coniche date; e la polare reciproca della prima rispetto alla seconda è il luogo di un punto dal quale tirate le tangenti alle due coniche date, si ottenga un fascio armonico.

(e) In generale, date due coniche ${\rm {K}}$, ${\rm {K'}}$ proponiamoci le seguenti quistioni²:

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1. Hesse, Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes, Leipzig 1861, p. 175.
2. Staudt, Ueber die Kurven 2. Ordnung, Nürnberg 1831, p. 25.

Cremona, tomo I.

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