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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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(b) In virtù del teorema generale or dimostrato, se il punto $p$ percorre l’Hessiana che è una curva dell’ordine $3(n-2)$, le indicatrici di $p$ inviluppano una linea della classe $6(n-1)(n-2)$; ma siccome in questo caso, per ogni posizione di $p$ le due indicatrici si confondono in una retta unica (90, c), così la classe dell’inviluppo si ridurrà a $3(n-1)(n-2)$: risultato già ottenuto altrimenti (91, b; 112, a).

A quest’inviluppo arrivano $3(n-1)(n-2)$ tangenti da ogni dato punto $i$; onde ciascuno dei $3(n-1)(n-2)$ punti $p$ dell’Hessiana, le indicatrici de’ quali sono le anzidette tangenti, rappresenta due intersezioni dell’Hessiana colla curva ${\rm {L^{ii}}}$ superiormente determinata (113).

Riunendo questa proprietà colle altre già dimostrate (113), si ha l’enunciato:

Dato un punto $i$, il luogo di un punto $p$ tale che la retta $pi$ sia tangente alla conica polare di $p$ è una linea dell’ordine $2(n-1)$, che passa due volte per $i$ e tocca la curva fondamentale, l’Hessiana e la seconda polare di $i$ ovunque le incontra.

115. Cerchiamo ora di determinare l’ordine del luogo di un punto $p$, un’indicatrice del quale sia tangente ad una data curva ${\rm {K_{r}}}$ della classe $r$, cioè indaghiamo quanti punti sianvi in una retta ${\rm {R}}$, dotati di un’indicatrice tangente a ${\rm {K_{r}}}$. Se il punto $p$ si muove nella retta ${\rm {R}}$, le sue indicatrici inviluppano (114, a) una linea della classe $2(n-1)$, la quale avrà $2r(n-1)$ tangenti comuni colla data curva ${\rm {K_{r}}}$. Dunque il luogo richiesto è dell’ordine $2r(n-1)$.

Se consideriamo una tangente comune a ${\rm {K_{r}}}$ ed a ${\rm {C_{n}}}$, nel contatto con quest’ultima linea sono riuniti due punti $p$, pei quali la tangente fa l’ufficio d’indicatrice; donde s’inferisce che il luogo richiesto tocca la curva fondamentale negli $rn(n-1)$ punti ove questa è toccata dalle tangenti comuni a ${\rm {K_{r}}}$, ovvero (ciò che è la stessa cosa) ne’ punti in cui la curva fondamentale è incontrata dalla prima polare di ${\rm {K_{r}}}$ (104, d).

La curva ${\rm {K_{r}}}$ ha $3r(n-1)(n-2)$ tangenti comuni coll’inviluppo delle indicatrici dei punti dell’Hessiana; talchè $3r(n-1)(n-2)$ è il numero dei punti comuni all’Hessiana ed al luogo dell’ordine $2r(n-1)$, di cui qui si tratta. Dunque:

Il luogo di un punto dal quale tirate le tangenti alla sua conica polare, una di queste riesca tangente ad una data curva della classe $r$, è una linea dell’ordine $2r(n-1)$ che tocca la curva fondamentale e l’Hessiana ovunque le incontra.

116. Dati due punti fissi $i$, $j$, cerchiamo il luogo di un punto $p$ tale che le rette $pi$, $pj$ siano polari coniugate (108) rispetto alla conica polare di $p$. È evidente che questo luogo passa per $i$ e per $j$.

Sia ${\rm {R}}$ una retta condotta ad arbitrio per $j$, e $p$ un punto di ${\rm {R}}$. Le rette polari di $p$, $i$ rispetto alla conica polare di $p$ incontrino ${\rm {R}}$ ne’ punti $a$, $b$; i quali se coincidessero in un punto solo, questo sarebbe il polo della retta $pi$ relativamente alla detta conica, talchè si avrebbe in $p$ un punto del luogo richiesto. Assunto ad arbitrio