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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

alcuna delle tangenti che da $p$ ponno condursi a ${\rm {K_{r}}}$: ovvero con altre parole, la retta $pi$ passi per alcuno de’ punti in cui la retta polare di $p$ taglia la curva polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ rispetto alla conica polare di $p$ (110).

La curva richiesta passa $r$ volte per $i$, giacchè se il punto $p$ cade in $i$, sonvi $r$ rette $pi$ sodisfacenti all’anzidetta condizione: quelle cioè che da $i$ vanno agli $r$ punti in cui la retta polare di $p$ taglia la polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ (relativa alla conica polare di $i$).

Sia $p$ un punto di ${\rm {C_{n}}}$; la retta polare di $p$ sarà la tangente alla curva fondamentale nel punto medesimo. Laonde se questa retta tocca anche ${\rm {K_{r}}}$, $p$ sarà un punto della polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ (relativa alla conica polare di $p$); e siccome, qualunque sia $i$, la retta $pi$ passa per $p$, punto comune alla detta polare reciproca ed alla retta polare di $p$, così questo punto apparterrà al luogo richiesto. Ond’è che questo luogo contiene gli $rn(n-1)$ punti di contatto della curva fondamentale colle tangenti comuni a ${\rm {K_{r}}}$.

Se invece $p$ appartiene a ${\rm {C_{n}}}$ e $pi$ è tangente a questa curva in $p$, la stessa retta $pi$ è la polare di $p$; ma essa incontra in $r$ punti la polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$, dunque $p$ è un punto multiplo secondo $r$ per la curva richiesta. Questa ha pertanto $n(n-1)$ punti $(r)$^pli, e son quelli ove ${\rm {C_{n}}}$ è toccata da tangenti che concorrono in $i$.

Sia $p$ un punto dell’Hessiana, $o$ il corrispondente punto della Steineriana. Se $po$ è tangente alla data curva ${\rm {K_{r}}}$, essa sarà coniugata alla retta $pi$ rispetto alla conica polare di $p$; infatti, sì quella tangente che le polari dei punti $p$, $i$, relative a questa conica, concorrono nel punto $o$. Donde s’inferisce che $p$ è un punto del luogo che si considera; vale a dire, questo luogo passa pei $3r(n-1)(n-2)$ punti dell’Hessiana, le indicatrici de’ quali toccano ${\rm {K_{r}}}$.

Siano ancora $p$, $o$ punti corrispondenti dell’Hessiana e della Steineriana; ma $po$ passi per $i$. Allora, siccome la conica polare di $p$ è un pajo di rette incrociate in $o$, così la polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ rispetto a tale conica sarà (110, a) un fascio di $r$ rette concorrenti in $o$. Ond’è che il punto $o$ rappresenta $r$ intersezioni sì della retta $pi$ che della retta polare di $p$ colla polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$, e per conseguenza $p$ tien luogo di $r$ punti consecutivi comuni alla curva richiesta ed all’Hessiana. Dunque il luogo geometrico, del quale si tratta, ha un contatto $(r)$^punto89 coll’Hessiana in ciascuno dei $3(n-1)(n-2)$ punti le cui indicatrici passano per $i$.

Passiamo da ultimo a determinare l’ordine della curva in questione. Sia ${\rm {R}}$ una retta arbitraria condotta per $i$, e $p$ un punto in ${\rm {R}}$. La retta polare di $p$ incontri ${\rm {R}}$ in $a$, e la polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ (rispetto alla conica polare di $p$) seghi ${\rm {R}}$ in $r$ punti $b$. Se si assume ad arbitrio $a$, vi corrispondono $n-1$ posizioni di $p$ (le intersezioni di ${\rm {R}}$ colla prima polare di $a$) e quindi $r(n-1)$ posizioni di $b$. Se invece si assume ad arbitrio $b$, come incontro di ${\rm {R}}$ colla polare reciproca di ${\rm {K_{r}}}$ rispetto alla conica polare