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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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di un polo indeterminato, questo polo giace (104, k) nella prima polare di ${\rm {K_{r}}}$ relativa alla prima polare di $b$; la qual curva essendo (104, d) dell’ordine $r(n-2)$ sega ${\rm {R}}$ in altrettanti punti $p$, ed a ciascuno di questi corrisponde un punto $a$. Così ad ogni punto $a$ corrispondono $r(n-1)$ punti $b$, ed ogni punto $b$ individua $r(n-2)$ punti $a$; onde la coincidenza di un punto $a$ con uno dei corrispondenti punti $b$ avverrà $r(n-1)+r(n-2)$ volte. Ma ove tale coincidenza si verifichi, il punto $p$ appartiene alla curva cercata. Questa ha dunque $r(2n-3)$ punti in ${\rm {R}}$, oltre al punto $i$ che è multiplo secondo $r$; vale a dire, essa è dell’ordine $2r(n-1)$.

(a) Analogamente si dimostra che:

Date due curve ${\rm {K_{r}}}$, ${\rm {K_{s}}}$, le cui classi siano $r$, $s$, il luogo di in punto $p$ tale che due tangenti condotte per esso, l’una a ${\rm {K_{r}}}$, l’altra a ${\rm {K_{s}}}$, siano coniugate rispetto alla conica polare dello stesso punto $p$, è una linea dell’ordine $2rs(n-1)$, la quale 1.º passa $s$ volte per ciascuno degli $rn(n-1)$ punti in cui la curva fondamentale ${\rm {C_{n}}}$ è toccata da rette tangenti di ${\rm {K_{r}}}$; 2.º passa $r$ volte per ciascuno degli $sn(n-1)$ punti in cui ${\rm {C_{n}}}$ è toccata da rette tangenti di ${\rm {K_{s}}}$; 3.º ha coll’Hessiana un contatto $(s)$^punto in ciascuno dei $3r(n-1)(n-2)$ punti le cui indicatrici toccano ${\rm {K_{r}}}$; 4.º ha coll’Hessiana medesima un contatto $(r)$^punto in ciascuno dei $3s(n-1)(n-2)$ punti le indicatrici dei quali sono tangenti a ${\rm {K_{s}}}$.

(b) Se invece è dato un solo inviluppo ${\rm {K_{r}}}$ della classe $r$, e si cerca il luogo di un punto $p$ tale che due tangenti condotte da esso a ${\rm {K_{r}}}$ siano coniugate rispetto alla conica polare di $p$, si trova una linea dell’ordine $rn(r-1)(n-1)$, la quale passa $r-1$ volte per ciascuno degli $rn(n-1)$ punti ove la curva fondamentale è toccata da rette tangenti di ${\rm {K_{r}}}$, ed ha un contatto $(r-1)$^punto coll’Hessiana in ciascuno de’ $3r(n-1)(n-2)$ punti di questa curva, le indicatrici de’ quali toccano ${\rm {K_{r}}}$.

Art. XX.

Alcune proprietà della curva Hessiana e della Steineriana.

118. Sia $p$ un punto dell’Hessiana ed $o$ il corrispondente punto della Steineriana. L’ultima polare di $p$ è una retta passante per $o$, i punti della quale sono poli d’altrettante prime polari toccate in $p$ dalla retta $po$; ma fra esse ve n’ha una dotata d’un punto doppio in $p$, e il suo polo è $o$ (88, d; 90, a; 112, a).

(a) Siano $o,\,o'$ due punti della Steineriana; i poli della retta $oo'$ saranno le $(n-1)^{2}$ intersezioni delle prime polari di quei due punti, le quali hanno rispettivamente per punti doppi i corrispondenti punti $p,\,p'$ dell’Hessiana. Assumendo $o'$ infinitamente vicino ad $o$, la retta $oo'$ ossia la tangente in $o$ alla Steineriana avrà un polo in $p$;