Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/443

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punti, che sono i poli d'altrettante prime polari aventi i punti doppi nelle intersezioni della curva data coll'Hessiana.

Se , abbiamo:

Una retta arbitraria sega l'Hessiana in punti, che sono doppi per altrettante prime polari; i poli di queste sono i punti di contatto fra la Steineriana e l'ma polare di .

Ed è evidente che:

Se è una tangente ordinaria dell'Hessiana, l'ma polare di avrà colla Steineriana un contatto quadripunto e contatti bipunti.

Se è una tangente stazionaria dell'Hessiana, l'ma polare di avrà colla Steineriana un contatto sipunto e contatti bipunti.

E se è una tangente doppia dell'Hessiana, l'ma polare di avrà colla Steineriana due contatti quadripunti e contatti bipunti.

Art. XXI.

Proprietà delle seconde polari.


123. La prima polare di un punto rispetto alla prima polare di un altro punto , ossia, ciò che è la medesima cosa (69, c), la prima polare di rispetto alla prima polare di , si è da noi chiamata per brevità (116) seconda polare mista de' punti . Avuto riguardo a questa denominazione, la seconda polare del punto , cioè la prima polare di rispetto alla prima polare di (69, b) può anche chiamarsi seconda polare pura del punto .

Se la seconda polare mista de' punti passa per un punto , la retta polare di relativa alla conica polare di passa per (69, d); dunque (108):

La seconda polare mista di due punti è il luogo di un punto rispetto alla conica polare del quale i punti siano poli coniugati.

Ond' è che, data una retta , se in essa assumonsi due punti i quali siano coniugati rispetto alla conica polare di un punto , la seconda polare mista di passerà per . Le coppie di punti in , coniugati rispetto alla conica suddetta, formano un'involuzione i cui punti doppi sono le intersezioni della conica colla retta (108). I punti sono pertanto i poli di due seconde polari pure passanti per .

Di qui s'inferisce che, affinchè una seconda polare mista, i cui poli giacciano in , passi per , è necessario e sufficiente che dividano armonicamente il segmento ; vale a dire: se sono quattro punti armonici, la seconda polare mista di passa pei poli di tutte le coniche polari contenenti i punti . Ora, quando una