Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/444

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search


conica polare passa per due punti , il suo polo giace sì nella seconda polare pura di che in quella di (69, a); gli punti comuni a queste due seconde polari sono poli d'altrettante coniche polari passanti per , epperò sono, anche punti comuni a tutte le seconde polari miste che passano per ed hanno i poli in .

Dunque le seconde polari miste passanti per un punto dato e aventi i poli in una data retta formano un fascio d'ordine .

Se una seconda polare mista i cui poli giacciano in dee passare per due punti , essa è pienamente e in modo unico determinata. I punti di , coniugati a due a due rispetto alla conica polare di , formano un'involuzione; ed una seconda involuzione nascerà dal punto . I punti coniugati comuni alle due involuzioni (25, b) sono i poli della seconda polare mista richiesta.

Concludiamo adunque che le seconde polari pure e miste i cui poli giacciano in una data retta formano una rete geometrica dell'ordine . Inoltre, le seconde polari pure dei punti della retta data formano una serie d'indice 2 ; cioè per un punto arbitrario passano due seconde polari pure i cui poli giacciono nella retta data (e nella conica polare di ). E il luogo de' punti doppi delle seconde polari pure e miste de' punti della retta data, cioè l'Hessiana della rete anzidetta, è una curva dell'ordine (92).

124. Abbiamo or ora osservato che per due punti della data retta passano coniche polari, i poli delle quali sono le intersezioni delle seconde polari pure di . Se questi due punti s'avvicinano indefinitamente sino a coincidere in uno solo avremo coniche polari tangenti in alla retta , e i loro poli saranno le intersezioni della seconda polare pura di con quella del punto infinitamente vicino in , vale a dire, saranno altrettanti punti di contatto della seconda polare pura di colla seconda polare della retta data (la curva inviluppo delle seconde polari pure de' punti di , ossia il luogo de' poli delle coniche polari tangenti ad (104)).

Si è inoltre notato che, se sono quattro punti armonici (in ), la seconda polare mista di passa per le intersezioni delle seconde polari pure di . Ora, supposto che coincidano in un sol punto , anche uno degli altri due (sia ) cadrà in (4); dunque la seconda polare mista di due punti in passa per gli punti in cui la seconda polare pura di tocca la seconda polare di . Ossia:

La curva d'ordine , seconda polare di una retta , tocca in punti la seconda polare pura di un punto qualunque di . I punti in cui la seconda polare di è toccata dalle seconde polari pure di due punti di , giacciono tutti in una stessa curva d'ordine , che è la seconda polare mista de' punti .

(a) Di qui si può dedurre che la seconda polare di una retta ha, rispetto alle seconde polari pure e miste de' punti di questa retta, tutte le proprietà e relazioni che una conica possiede rispetto alle rette che la toccano o la segano.