Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/446

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Ai punti se ne possono evidentemente sostituire due altri qualunque presi in , perchè le intersezioni delle seconde polari miste di e di altro non sono che i poli di rispetto alla prima polare di (77). Donde si ricava quest' altra definizione (86):

La seconda polare di una retta è il luogo de' poli di questa retta rispetto alla prima polare di un punto variabile nella retta medesima.1

(a) Questa definizione conduce spontaneamente ad un' importante generalizzazione.

Date due rette , quale è il luogo dei poli dell'una rispetto alla prima polare di un punto variabile nell'altra? Fissati ad arbitrio due punti in , e preso un punto qualunque in , le seconde polari miste de' punti ed si segano in punti, che sono i poli di rispetto alla prima polare di . Variando in , quelle seconde polari miste generano due fasci projettivi dell'ordine ; ed il luogo de' punti ove si segano due curve corrispondenti è una linea dell' ordine , la quale è evidentemente la richiesta. Ad essa può darsi il nome di seconda polare mista delle rette , per distinguerla dalla seconda polare pura di , superiormente definita.

(b) Come la seconda polare pura di è il luogo di un punto la cui conica polare è toccata da , così la seconda polare mista di due rette è il luogo di un punto rispetto alla conica polare del quale le rette siano coniugate. Infatti: se la seconda polare mista di e quella di passano per un punto , la retta polare di rispetto alla conica polare di passa per e per (123), cioè è il polo di rispetto a quella conica, c. d. d.

(c) Se nella precedente ricerca (a) si pone il punto all'intersezione delle rette , troviamo che la seconda polare mista delle rette medesime passa per gli punti comuni alla seconda polare mista de' punti ed alla seconda polare mista de' punti , ossia (124) per gli punti in cui la seconda polare pura del punto tocca la seconda polare pura della retta . Dunque:

La seconda polare pura del punto comune a due rette tocca le seconde polari pure di queste, ciascuna in punti. I punti di contatto giacciono tutti nella seconda polare mista delle rette medesime.

126. Se la seconda polare mista di due rette , concorrenti in un dato punto , dee passare per un altro punto pur dato , è necessario e sufficiente (125, b) che quelle due rette siano coniugate rispetto alla conica polare di , cioè ch'esse formino un sistema armonico colle rette che da si possono condurre a toccare quella conica. Ossia, se le rette formano un fascio armonico, la seconda polare mista di passa pei poli di tutte le coniche polari tangenti alle rette . Ora, se una conica

  1. Salmon, Higher piane curves, p. 152.