Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/448

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dell'ordine . Questa linea è composta dell'Hessiana e della seconda polare pura del punto (125, c); e gli punti, in cui le seconde polari pure di due fra quelle rette toccano l'Hessiana e la seconda polare pura di , giacciono tutti nella seconda polare mista delle medesime due rette.

(a) Si è dimostrato che la seconda polare (pura) di tocca l'Hessiana in ; inoltre anche la seconda polare (pura) di passa per , giacché questo punto è doppio per la prima polare di . D'altra parte la seconda polare (pura) di e la seconda polare (pura) di (retta passante per ) si toccano ovunque s'incontrano (124); dunque:

L'Hessiana, in un suo punto qualunque, è tangente alla seconda polare (pura) del corrispondente punto della Steineriana.

(b) Da ciò segue che la tangente in all'Hessiana è la coniugata armonica di rispetto alle due rette che toccano la prima polare di nel punto doppio (74, c); e se la prima polare di ha una cuspide in , la tangente cuspidale tocca ivi anche l'Hessiana.

Analogamente, la tangente in alla Steineriana è la coniugata armonica di rispetto alle due rette che formano la conica polare di .

(c) Se si considera una seconda retta passante per , la seconda polare pura di toccherà anch'essa l'Hessiana in . Viceversa: le rette le cui seconde polari pure passano per sono le tangenti della conica polare di (104, g); ma questa conica si risolve in due rette passanti per ; dunque le rette, le cui seconde polari pure contengono il punto , passano tutte per .

Ossia, l'Hessiana è toccata in dalla seconda polare pura di e dalle seconde polari pure e miste di tutte le rette passanti per .

(d) Siccome i contatti dell'Hessiana colla seconda polare (pura) di una retta corrispondono alle intersezioni di colla Steineriana, così, se tocca questa curva in un punto , la seconda polare (pura) di avrà un contatto quadripunto coll'Hessiana nel corrispondente punto , e la toccherà semplicemente in altri punti.

Le rette tangenti alla conica polare d'un punto sono le sole (104, g), a cui spettino seconde polari pure passanti per . Ma quella conica ha tangenti comuni colla Steineriana; dunque la serie formata dalle seconde polari pure (di rette) aventi un contatto quadripunto coll'Hessiana è dell'indice .

Se è una tangente doppia della Steineriana, la seconda polare (pura) di avrà coll'Hessiana due contatti quadripunti e contatti bipunti.

E se è una tangente stazionaria della Steineriana, la seconda polare (pura) di avrà coll'Hessiana un contatto sipunto, oltre a contatti bipunti.

128. Quali sono le rette le cui seconde polari (pure) hanno un punto doppio? Siccome la seconda polare (pura) di una retta è il luogo dei poli delle coniche polari tangenti ad , così se quella seconda polare ha un punto doppio, è necessario che vi