Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/449

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sia una conica polare avente più di due punti comuni con , cioè una conica polare che si risolva in due rette, una delle quali sia . [90] Dunque:

Le rette cui spettano seconde polari (pure) dotate di punto doppio sono quelle che a due a due costituiscono le coniche polari dei punti dell’Hessiana. E i punti doppi delle seconde polari (pure) di quelle rette sono gli stessi punti dell’Hessiana.

La seconda polare (pura) di un punto qualunque sega l’Hessiana in punti, poli di altrettante coniche polari passanti per , ciascuna delle quali è il sistema di due rette. Dunque:

Le rette che costituiscono le coniche polari dei punti dell’Hessiana inviluppano una curva della classe .

129. La seconda polare mista di due rette è il luogo di un punto, alla conica polare del quale condotte le tangenti dal punto , queste tangenti formino colle rette date un fascio armonico. Tali coniche polari costituiscono una serie d’indice , tanti essendo i punti in cui quella seconda polare mista è intersecata dalla seconda polare (pura) di un punto arbitrario; dunque fra quelle coniche ve ne sono tangenti ad una retta qualsivoglia data (85).

Ora sia data una conica qualunque , e si domandi il luogo di un punto la cui conica polare sia inscritta in un triangolo coniugato a . Sia un punto arbitrario ed la retta polare di rispetto a . Vi sono coniche polari tangenti ad e a due rette concorrenti in e coniugate rispetto a , ossia coniche polari inscritte in triangoli coniugati a , un lato dei quali sia in . Ma le coniche polari tangenti ad hanno i loro poli nella seconda polare pura di ; dunque il luogo richiesto ha punti comuni colla seconda polare pura di una retta arbitraria, vale a dire, è una curva dell’ordine .

Quando un triangolo coniugato alla conica abbia un vertice sulla curva, due lati coincidono nella tangente ed il terzo è una retta arbitraria passante per . Dunque, se il punto appartiene anche alla Steineriana, cioè se è il punto doppio della conica polare d’un punto dell’Hessiana, questa conica può risguardarsi come inscritta in quel triangolo. Per conseguenza:

Il luogo di un punto, la conica polare del quale sia inscritta in un triangolo coniugato ad una conica qualsivoglia data, è una linea dell’ordine , che sega l’Hessiana ne’ punti corrispondenti alle intersezioni della Steineriana colla conica data.

Questa linea d’ordine , quando la conica data degeneri in un pajo di rette, non è altro che la seconda polare mista delle rette medesime.

Così ad una conica qualunque corrisponde una determinata curva d’ordine . E pel teorema (111, f) è evidente che a più coniche circoscritte ad uno stesso quadrangolo corrispondono altrettante curve d’ordine formanti un fascio.