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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

tesi, poli coniugati rispetto a qualsivoglia conica polare, così anche i punti $cc'$ saranno poli coniugati rispetto alla medesima rete di coniche (109). Dunque:

Se $abc$ sono tre punti dell’Hessiana in linea retta, i tre poli $a'b'c'$ coniugati a quelli formano un triangolo i cui lati $b'c',c'a',a'b'$ passano per $a,b,c$¹.

Donde si ricava che, dati due poli coniugati $aa'$ ed un altro punto $b$ dell’Hessiana, per trovare il polo coniugato $b'$, basta tirare le rette $ba,ba'$ che seghino nuovamente questa curva in $c,c'$; il punto comune alle $ca',c'a$ è il richiesto².

(a) Le rette condotte da un punto qualunque $o$ dell’Hessiana alle coppie di poli coniugati formano un’involuzione (di secondo grado). Infatti: se una retta condotta ad arbitrio per $o$ sega l’Hessiana in $a$ e $b$, i poli $a',b'$ coniugati a questi sono pure in linea retta con $o$; onde le rette $oab,oa'b'$ sono così tra loro connesse che l’una determina l’altra in modo unico. Dunque ecc.³.

(b) Viceversa, dati sei punti $aa',bb',cc'$, il luogo di un punto $o$, tale che le coppie di rette $o(a,a')$, $o(b,b')$, $o(c,c')$ siano in involuzione, è una curva del terz’ordine, per la quale $aa',bb',cc'$ sono coppie di punti corrispondenti⁴.

135. Quando due de’ quattro poli (poli congiunti) di una retta coincidano in un solo $o$, questo appartiene all’Hessiana (90, b), e tutte le coniche polari passanti per esso hanno ivi la stessa tangente $oo'$. Siano (fig. 8.ª) $o_{1}o_{2}$ gli altri due poli della retta $(o'u)$ polare di $o$; cioè siano $o_{1}o_{2}$ i punti in cui le rette $(ad,bc)$ formanti la conica polare di $o'$ incontrano quella retta che passa per $u'$ e forma con $oo'$ la conica polare di $u$ (133, b).

Due delle tangenti, che da $o_{1}$ ponno condursi alla Cayleyana (133, d), coincidono con $o_{1}o$, e la terza è $o_{1}o_{2}$; così pure, delle tangenti che da $o_{2}$ arrivano alla Cayleyana, due coincidono in $o_{2}o$, e la terza è $o_{2}o_{1}$. Dunque (30) le rette $oo_{1},oo_{2}$ toccano la Cayleyana in $o_{1},o_{2}$.

Ne segue che la Cayleyana è il luogo de’ poli congiunti ai punti dell’Hessiana (105), cioè: se una retta polare si muove inviluppando l’Hessiana, due poli coincidenti percorrono l’Hessiana medesima, mentre gli altri due poli distinti descrivono la Cayleyana.

(a) Si noti ancora che da un punto qualunque $o$ dell’Hessiana partono tre tangenti $o(o_{1},o_{2},o')$ della Cayleyana; e due di queste $oo_{1},oo_{2}$ si corrispondono fra loro in modo che la retta passante pei loro punti di contatto $o_{1}o_{2}$ è pure una tangente della Cayleyana.

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1. {Il triangolo $a'b'c'$ è coniugato al fascio delle coniche polari dei punti della retta $abc$.}
2. Maclaurin, l. c. p. 242.
3. {I raggi doppi di questa involuzione sono le tangenti della Cayleyana passanti per $o$ e diverse da $oo'$} [$o'$ essendo il polo coniugato di $o$].
4. Cayley, Mémoire sur les courbes du troisième ordre, p. 287.