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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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1)
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![{\displaystyle {\frac {1}{o\mu _{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{om_{1}}}-{\frac {1}{om_{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd28f23f5e056d9eb41e4b44eec7632b40b7f2ba) ,
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ossia dall’equazione quadratica:
2)
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![{\displaystyle {\frac {1}{{\overline {o\mu }}^{2}}}-{\frac {1}{o\mu }}\left({\frac {1}{om_{1}}}+{\frac {1}{om_{2}}}\right)+{\frac {4}{om_{1}.om_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9366f740ac8f4e6b68b74423a8413a9d6a45d6) ![{\displaystyle -{\frac {3}{4}}\left({\frac {1}{om_{1}}}+{\frac {1}{om_{2}}}\right)^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac187cc3bea43b67923e6ed1833567ffe2a54df2) .
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Ma per le relazioni che hanno luogo fra i tre punti
ed i loro centri armonici
(Art. III.), si ha:
,
,
onde l’equazione 2) potrà scriversi così:
3)
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![{\displaystyle \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa_{1}}}\right)\left({\frac {1}{o\mu }}+{\frac {1}{oa_{1}}}-{\frac {1}{oa_{2}}}-{\frac {1}{oa_{3}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f157aa0fe3b49e748b5ef82073896819486116b) ![{\displaystyle +\left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa_{2}}}\right)\left({\frac {1}{o\mu }}+{\frac {1}{oa_{2}}}-{\frac {1}{oa_{3}}}-{\frac {1}{oa_{1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d5c409996d284b3587cebbbdd421dbdb52e1d7) ![{\displaystyle +\left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa_{3}}}\right)\left({\frac {1}{o\mu }}+{\frac {1}{oa_{3}}}-{\frac {1}{oa_{1}}}-{\frac {1}{oa_{2}}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4f0a1ad36f1d6c3b309e0bd8956ee59a7322e4) .
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Facendo girare la trasversale intorno ad
, il luogo de’ punti
sarà una curva di second’ordine, che si può chiamare conica satellite del polo
1.
Se i punti
coincidono, cioè se la trasversale tocca la cubica in
e la sega in
, l’equazione 3) manifesta nel primo membro il fattore
. Dunque la conica satellite contiene i sei punti in cui la cubica fondamentale è segata dalle tangenti condotte pel polo.
Se i punti
coincidono, cioè se la trasversale tocca in
la conica polare di
, le 1) mostrano che i punti
coincidono entrambi in
, vale a dire, in questo punto la trasversale tocca anche la conica satellite. Dunque la conica satellite tocca la conica polare ne’ punti in cui questa è incontrata dalla retta polare.
(a) Da quanto or si è detto e dal teorema (39, b) risulta che, se
è un punto dell’Hessiana, cioè se la conica polare di
è un pajo di rette concorrenti in
, anche la conica satellite sarà un pajo di rette concorrenti in questo medesimo punto, e pro-
- ↑ Qual sarebbe l’analoga ricerca per una curva fondamentale di ordine
? Essa dovrebbe condurre ad una curva satellite dell’ordine
. Veggasi: Salmon, Higher plane curves, p. 68-69.