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6.

SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 368 (Cayley).⁷

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Nouvelles Annales de Mathématiques, 1.^re série, tome XVI (1857), pp. 250.

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Toute conique qui touche les côtés du triangle $\mathrm {ABC}$ ($p=0$, $q=0$, $r=0$) est représentée par l’équation (Salmon, Conic sections, 3.^e édition, p. 247)

$l^{2}p^{2}+m^{2}q^{2}+n^{2}r^{2}-2mnqr-2nlrp-2lmpq=0$^[1],

où $l$, $m$, $n$ sont des indéterminées. Les points $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ étant déterminés respectivement par les couples d’équations simultanées

$p=0,$     $q-r=0;$

$q=0,$     $r-p=0;$

$r=0,$     $p-q=0;$

la conique passera par les points $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, si l’on satisfait aux conditions

$m^{2}+n^{2}-2mn=0,$

$n^{2}+l^{2}-2nl=0,$

$l^{2}+m^{2}-2lm=0,$

ou bien

$l=m=n;$

donc l’équation cherchée est

$p^{2}+q^{2}+r^{2}-2qr-2rp-2pq=0.$

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1. Ou bien $(lp)^{\frac {1}{2}}+(mq)^{\frac {1}{2}}+(nr)^{\frac {1}{2}}=0$.