Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/465

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di questa nel punto (141). Dunque, se una data cubica del fascio incontra la retta ne’ punti , le rette sono tangenti nel flesso ad altrettante cubiche del fascio, aventi per Hessiana la curva data. Ossia una data cubica è, in generale, Hessiana di tre altre cubiche sizigetiche ad essa1.

(a) Se la cubica data è un trilatero, un vertice del quale sia ed il lato opposto passi per , le tre tangenti , riduconsi alle due , . La seconda di queste rette può risguardarsi come tangente stazionaria della cubica data, la quale è per tal modo Hessiana di sè stessa. E l’altra retta sarà tangente in ad una cubica (del fascio) avente per Hessiana il dato trilatero. Dunque ciascuna cubica trilatera è Hessiana di sè stessa e di un’altra cubica (del fascio). Cioè in un fascio di cubiche sizigetiche vi sono quattro curve le cui Hessiane sono i quattro trilateri del fascio.

(b) Cerchiamo se nel dato fascio vi abbia alcuna cubica che sia Hessiana della propria Hessiana. Una cubica ha per Hessiana un’altra cubica, e l’Hessiana di questa è una nuova cubica . Assunta invece ad arbitrio nel fascio la curva , questa è Hessiana di tre cubiche, ciascuna delle quali è alla sua volta Hessiana di tre altre cubiche ; talché dà nove cubiche . Siccome le cubiche sono individuate dalle rispettive tangenti in (46), od anche dai punti in cui queste segano la polare armonica , possiamo dire che ad ogni punto corrisponde un solo punto , mentre a ciascun punto corrispondono nove punti ; quindi la coincidenza di due punti corrispondenti avrà luogo dieci volte, cioè vi sono dieci cubiche sodisfacenti alla condizione proposta. Di questo numero sono i quattro trilateri sizigetici; epperò, lasciatili da parte, avremo:

Un fascio di cubiche sizigetiche contiene sei cubiche, ciascuna delle quali è Hessiana della propria Hessiana.2

144. Vogliamo ora trovare la relazione segmentarla esprimente la projettività che ha luogo fra l’involuzione di terzo grado formata dai punti e la semplice serie generata dal punto (143). Preso per origine de’ segmenti un punto , cioè quel vertice di uno de’ trilateri sizigetici che cade nella retta ; e chiamato uno qualunque de’ punti , la projettività di che si tratta sarà espressa da un’equazione della forma (24, a):

1)

,

  1. Hesse, Ueber die Elimination der Variabeln u. s. w. (Giornale di Crelle, t. 28, Berlino 1844, p. 89).
  2. Salmon, Higher piane curves, p. 184. — Aronhold, Zur Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Variabeln (Giornale di Crelle, t. 39, Berlino 1850, p. 153). — <Le sei cubiche di cui sopra si parla si dividono in tre coppie; le cubiche di una coppia sono l'una Hessiana dell'altra.>