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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

ove ${\rm {A,A',B,\dots }}$ sono coefficienti costanti. Il punto $s$ corrispondente ad $r$ (143) suppongasi a distanza infinita, com’è lecito fare senza sminuire la generalità dell’indagine; perchè trattandosi qui di relazioni fra rapporti anarmonici, possiamo ai punti della retta ${\rm {I}}$ sostituire le loro projezioni fatte da un centro arbitrario sopra una retta parallela al raggio che passa per $s$ (8).

Ciò premesso, siccome i tre valori di $rm$ corrispondenti ad $rn=rs=\infty$ devono essere $rm=rs$, $rm'=0$, $rm''=0$, così se ne trae ${\rm {A=0}}$, ${\rm {C=0}}$, ${\rm {D=0}}$.

D’altronde $s$ è un punto della retta polare di $r$ rispetto a qualunque cubica del fascio (142), quindi (11):

${\frac {3}{rs}}={\frac {1}{rm}}+{\frac {1}{rm'}}+{\frac {1}{rm''}}=-{\frac {3\mathrm {C} '}{\mathrm {D} '}}$;

ma $rs$ è infinito, dunque ${\rm {C'=0}}$. Così l’equazione 1) diviene:

2)	$\mathrm {A} '.{\overline {rm}}^{3}+3(\mathrm {B} .rn+\mathrm {B} '){\overline {rm}}^{2}+\mathrm {D} '=0$.

La condizione affinchè la 2), considerando $rm$ come incognita, abbia due radici eguali è:

3)	$\mathrm {A'^{2}D} '+4(\mathrm {B} .rn+\mathrm {B} ')^{3}=0$,

cioè questa equazione del terzo grado rispetto ad $rn$ darà quei tre punti $n(s_{1}s_{2}s_{3})$ a ciascuno dei quali, come ad $s$, corrispondono due punti $m$ coincidenti $(r_{1}r_{2}r_{3})$.

Se nella stessa equazione 2) si fa $rm=rn$, ottiensi:

4)	$(\mathrm {A'+3B} ){\overline {rn}}^{3}+3\mathrm {B} '.{\overline {rn}}^{2}+\mathrm {D} '=0$,

ossia ciascuno de’ punti $n$ dati dalla 4) coincide con uno de’ corrispondenti punti $m$. Ma i punti $n$ dotati di tale proprietà sono (oltre ad $s$) gli stessi punti $s_{1}s_{2}s_{3}$ dati dalla 3); dunque le equazioni 3), 4), dovendo ammettere le stesse soluzioni, avranno i coefficienti proporzionali.

L’equazione 4) non contiene l’$rn$ lineare; onde eguagliando a zero il coefficiente di $rn$ nella 3), si avrà ${\rm {{BB'}^{2}=0}}$, ossia ${\rm {B'=0}}$; perchè il porre ${\rm {B=0}}$ farebbe scomparire il segmento $rn$ dalla 2). Quindi le 3), 4) divengono:

$4\mathrm {B} ^{3}.{\overline {rn}}^{3}+\mathrm {{A'}^{2}D'} =0$,     $\mathrm {(A'+3B)} {\overline {rn}}^{3}+\mathrm {D} '=0$,

donde eliminando $rn$ si ha:

5)	${\rm {(A'-B)(A'+2B)^{2}=0}}$.

Posto ${\rm {A'=B}}$ e per brevità $\mathrm {D'} =-4h^{3}\mathrm {B}$, ovvero posto ${\rm {A'=-2B}}$ e per brevità