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30.
COURBES GAUCHES DÉCRITES SUR LA SURFACE D’UN HYPERBOLOÏDE À UNE NAPPE1.
Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo IV (1861), pp. 22-25.
I. Courbes gauches d’ordre impair décrites sur la surface d’un hyperboloide à une nappe.
1. Étant donnés trois faisceaux homographiques, c’est-a-dire deux faisceaux de plans passant par deux droites A, B, respectivement, et un faisceau de surfaces de l’ordre m, les points où la droite intersection de deux plans homologues rencontre la surface correspondante de l’ordre m, engendrent une courbe gauche C de l’ordre 2m + 1. Elle est entièrement située sur la surface de l’hyperboloïde I engendré par les deux faisceaux de plans (Théorème de M. Chasles, Compte rendu du 3 juin 1861).
2. Toute génératrice de l’hyperboloïde I, du système auquel appartiennent les axes A, B, rencontre la courbe C en m + 1 points; et toute génératrice du second système rencontre C en m points.
3. Il y a 2m2 génératrices du premier système et 2(m2 — 1) génératrices du second qui sont tangentes à la courbe C.
4. La surface réglée dont les génératrices s’appuient chacune en deux points sur la courbe C et en un point sur une droite L est de l’ordre m(3m + 1); C est une ligne multiple suivant 2m, et L est multiple suivant m2.
Si L a un point commun avec C, la surface de l’ordre m(3m + 1) se décompose en un cône de l’ordre 2m et en une surface réglée de l’ordre m(3m — 1); pour celle-ci L est multiple suivant m2, et C suivant 2m — 1.
Si L a deux points communs avec C, on a deux cônes de l’ordre 2m et une surface gauche de l’ordre 3m(m — 1), pour laquelle L est multiple suivant m2 — 1, et C suivant 2(m — 1).
- ↑ Extrait des Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences; séance du 24 juin 1861 [tome 52, pp. 1319-1323].
