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468 courbes gauches ecc.


5. Par un point quelconque de l’espace on peut mener: 1.º m2 droites qui rencontrent deux fois la courbe C; 2.º 3(2m2 — 1) plans osculateurs à la courbe C; 3.º un nombre 2(m — 1)(m3 + 3m2m — 2) de plans, dont chacun contient deux tangentes de la courbe C.

6. Par une droite quelconque on peut mener 2m(m + 1) plans tangents à la courbe C.

7. Un plan quelconque contient: 1.º 2m(m2 — 1)(m + 2) points, dont chacun est l’intersection de deux tangentes de la courbe C; 2.º 18m4 — 40m2 + 5m + 18 droites, dont chacune est l’intersection de deux plans osculateurs de la courbe C.

8. Il suit de là que:

La perspective de la courbe C est une courbe de l’ordre 2m + 1, et de la classe 2m(m + 1), ayant m2 points doubles, 3(2m2 — 1) inflexions, et 2(m — 1)(m3 +3m2m — 2) tangentes doubles.

9. Les droites tangentes de la courbe C forment une développable S de l’ordre 2m(m + 1) et de la classe 3(2m2 — 1), ayant 4(m — 1)(3m + 2) génératrices d’inflexion.

10. Toute droite tangente à la courbe C, en un point, rencontre 2(m — 1)(m + 2) droites qui sont tangentes à la même courbe en d’autres points. Les points où se rencontrent ces tangentes non consécutives forment une courbe gauche K qui est double (courbe nodale) sur la développable S. Les plans déterminés par les couples de tangentes non consécutives de C qui se coupent, enveloppent une développable Σ qui est doublement tangente à la courbe C. Il suit des nos 5 et 7 que la développable Σ est de la classe 2(m — 1)(m3 +3m2m — 2), et que la courbe K est de l’ordre 2m(m2 — 1)(m + 2).

11. On peut déduire ces propriétés, et d’autres encore, des formules générales données par M. Cayley (Journal de Liouville, t. X).


II. Nouvelles courbes gauches de tous les ordres sur la surface d’un hyperboloïde à une nappe.

12. On donne trois faisceaux de plans, dont les axes soient trois droites P, Q, R. Le faisceau P soit composé d’un nombre infini de groupes, dont chacun contient m plans. Ces groupes sont supposés en involution de l’ordre m1, c’est-à-dire, un quelconque des m plans d’un groupe détermine les autres m — 1 plans du même groupe. (Pour m = 2 on a l’involution ordinaire). Le deuxième faisceau soit homographique au premier, c’est-à-dire les plans de ces faisceaux se correspondent, un à un, entre eux.


  1. De Jonquiéres, Généralisation de la théorie de l’involution (Annali di Matematica, Roma, 1859).