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courbes gauches ecc.

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Et les plans du faisceau $\mathrm {R}$ correspondent anharmoniquement, un par fois, aux groupes du faisceau $\mathrm {P}$ (et par consequent aux groupes de $\mathrm {Q}$ )^[1].

Le lieu des intersections des plans correspondents des trois faisceaux est une courbe gauche $\mathrm {C}$ de l’ordre $m+2$ qui coupe $m+1$ fois chacune des droites $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ , et deux fois la droit $\mathrm {R}$ . Cette courbe $\mathrm {C}$ est située entièrement sur l’hyperboloïde $\mathrm {I}$ engendré par les deux faisceaux $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ .

Pour $m=1$ on a la cubique gauche, et on tombe dans la construction donnée par M. Chasles (Compte rendu du 10 août 1857). Pour $m=2$ on a la courbe du quatrième ordre étudiée par M. Salmon (Cambridge and Dublin Math. Journal, vol. V); j’en ai donné la construction dans mon Mémoire Sulle superficie gobbe del terz’ordine (Atti dell’Istituto Lombardo, t. II).

Hormis le cas de la cubiche gauche ( $m=1$ ), l’hyperboloïde $\mathrm {I}$ est la seule surface du second ordre qui passe par la courbe $\mathrm {C}$ .

13. Toute génératrice de l’hyperboloïde $\mathrm {I}$ , du système auquel appartiennent les axes $\mathrm {P}$ , $\mathrm {Q}$ , rencontre la courbe $\mathrm {C}$ en $m+1$ points; et toute génératrice de l’autre système rencontre cette courbe en un seul point.

14. Les faisceaux $\mathrm {P}$ et $\mathrm {R}$ (de même que $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R}$ ) engendrent une surface gauche de l’ordre $m+1$ , dont l’axe $\mathrm {P}$ est une ligne multiple suivant le nombre $m$ .

15. Par la courbe $\mathrm {C}$ , par une génératrice du premier système de l’hyperboloïde $\mathrm {I}$ , et par une droite qui s’appuie en deux points sur $\mathrm {C}$ , on peut faire passer une surface gauche de l’ordre $m+1$ , dont la première directrice rectiligne est une ligne multiple suivant $m$ .

16. Si l’hyperboloïde $\mathrm {I}$ et $2m+3$ de ses points sont donnés, on peut décrire par ces points, sur la surface $\mathrm {I}$ , deux courbes $\mathrm {C}$ .

17. Si autour de deux génératrices du premier système de l’hyperboloïde $\mathrm {I}$ on fait tourner deux plans qui se rencontrent sur la courbe $\mathrm {C}$ , ces plans engendrent deux faisceaux homographiques.

18. Il y a $2m$ génératrices du premier système de l’hyperboloïde $\mathrm {I}$ qui sont tangentes à la courbe $\mathrm {C}$ .

19. Le lieu d’une droite mobile qui s’appuie en deux points sur la courbe $\mathrm {C}$ et en un point sur une droite fixe $\mathrm {L}$ , est une surface de l’ordre $(m+1)^{2}$ . Les lignes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {L}$ sont multiples suivant les nombres $m+1$ et ${\tfrac {m(m+1)}{2}}$ respectivement.

↑ Si l’on représente un plan quelconque du premier faisceau par $\mathrm {P} +\lambda \mathrm {P} '=0$ et les plans correspondants des autres faisceaux par $\mathrm {Q} +\mu \mathrm {Q} '=0$ , $\mathrm {R} +\nu \mathrm {R} '=0$ , on aura entre $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ deux relations de la forme:

$(a+b\lambda )\mu +a'+b'\lambda =0$ , $(c\lambda ^{m}+d\lambda ^{m-1}+\cdots )\nu +c\lambda ^{m}+d\lambda ^{m-1}+\cdots =0$ .

[1] Si l’on représente un plan quelconque du premier faisceau par $\mathrm {P} +\lambda \mathrm {P} '=0$ et les plans correspondants des autres faisceaux par $\mathrm {Q} +\mu \mathrm {Q} '=0$ , $\mathrm {R} +\nu \mathrm {R} '=0$ , on aura entre $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ deux relations de la forme:

$(a+b\lambda )\mu +a'+b'\lambda =0$ , $(c\lambda ^{m}+d\lambda ^{m-1}+\cdots )\nu +c\lambda ^{m}+d\lambda ^{m-1}+\cdots =0$ .

[1]