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| courbes gauches ecc. | 469 |
Et les plans du faisceau R correspondent anharmoniquement, un par fois, aux groupes du faisceau P (et par consequent aux groupes de Q)1.
Le lieu des intersections des plans correspondents des trois faisceaux est une courbe gauche C de l’ordre m + 2 qui coupe m + 1 fois chacune des droites P et Q, et deux fois la droit R. Cette courbe C est située entièrement sur l’hyperboloïde I engendré par les deux faisceaux P et Q.
Pour m = 1 on a la cubique gauche, et on tombe dans la construction donnée par M. Chasles (Compte rendu du 10 août 1857). Pour m = 2 on a la courbe du quatrième ordre étudiée par M. Salmon (Cambridge and Dublin Math. Journal, vol. V); j’en ai donné la construction dans mon Mémoire Sulle superficie gobbe del terz’ordine (Atti dell’Istituto Lombardo, t. II).
Hormis le cas de la cubiche gauche (m = 1), l’hyperboloïde I est la seule surface du second ordre qui passe par la courbe C.
13. Toute génératrice de l’hyperboloïde I, du système auquel appartiennent les axes P, Q, rencontre la courbe C en m + 1 points; et toute génératrice de l’autre système rencontre cette courbe en un seul point.
14. Les faisceaux P et R (de même que Q et R) engendrent une surface gauche de l’ordre m + 1, dont l’axe P est une ligne multiple suivant le nombre m.
15. Par la courbe C, par une génératrice du premier système de l’hyperboloïde I, et par une droite qui s’appuie en deux points sur C, on peut faire passer une surface gauche de l’ordre m + 1, dont la première directrice rectiligne est une ligne multiple suivant m.
16. Si l’hyperboloïde I et 2m + 3 de ses points sont donnés, on peut décrire par ces points, sur la surface I, deux courbes C.
17. Si autour de deux génératrices du premier système de l’hyperboloïde I on fait tourner deux plans qui se rencontrent sur la courbe C, ces plans engendrent deux faisceaux homographiques.
18. Il y a 2m génératrices du premier système de l’hyperboloïde I qui sont tangentes à la courbe C.
19. Le lieu d’une droite mobile qui s’appuie en deux points sur la courbe C et en un point sur une droite fixe L, est une surface de l’ordre (m + 1)2. Les lignes C et L sont multiples suivant les nombres m + 1 et respectivement.
- ↑ Si l’on représente un plan quelconque du premier faisceau par P + λP’ = 0 et les plans correspondants des autres faisceaux par Q + μQ’ = 0, R + νR’ = 0, on aura entre λ, μ, ν deux relations de la forme:
(a + bλ)μ + a’ + b’λ = 0, (cλm + dλm — 1 + ...)ν + cλm + dλm — 1 + ... = 0.
