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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/54

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40 sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.


La retta congiungente due punti (ω, θ) della linea può rappresentarsi colle equazioni:

A — (ω + θ) B + ωθ C = 0,          B — (ω + θ) C + ωθ D = 0


quindi le equazioni della tangente al punto ω sono:

A — 2ω B + ω2 C = 0,          B — 2ω C + ω2 D = 0.


Se da queste due equazioni si elimina ω si ha la:

3)
(AD — BC)2 — 4 (BD — C2) (AC — B2) = 0


dunque la superficie sviluppabile luogo delle tangenti alla cubica gobba è del quart’ordine (39)1. L’equazione del piano passante per tre punti (ω, θ, ε) della cubica gobba è:

A — (ω + θ + ε) B + (θε + εω + ωθ) C — ωθε D = 0


e quella del piano osculatore al punto ω:

A — 3ω B + 3ω2 C — ω3 D = 0.

3. Il rapporto anarmonico de’ quattro piani:

A — (θ + ω) B + ωθ C — εr (B — (θ + ω) C + ωθ D) = 0 ... (r = 1, 2, 3, 4)


è , epperò indipendente da ω, θ. Cioè: il rapporto anarmonico de’ quattro piani passanti rispettivamente per quattro punti fissi della cubica e per una stessa corda qualunque di essa linea è una quantità costante. Questa quantità può denominarsi rapporto anarmonico de’ quattro punti della cubica gobba (9, 10).

La retta tangente al punto ω incontra il piano osculatore al punto θ nel punto:

A : B : C : D = 3ω2θ : ω(2θ + ω) : θ + 2ω : 3


quindi le equazioni de’ quattro piani passanti per una stessa retta B = C = 0 e rispettivamente pe’ quattro punti in cui la tangente della cubica gobba al punto ω incontra i piani osculatori ai punti (ε1, ε2, ε3, ε4) si otterranno ponendo successivamente ε1, ε2, ε3, ε4 in luogo di θ nella:

ω (2B — ωC) — θ (2ωC — B) = 0


quindi il rapporto anarmonico dei nominati quattro punti della tangente sarà


  1. I numeri citati fra parentesi sono quelli dell’ultima memoria del sig. Chasles