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| 40 | sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. |
La retta congiungente due punti (ω, θ) della linea può rappresentarsi colle equazioni:
A — (ω + θ) B + ωθ C = 0, B — (ω + θ) C + ωθ D = 0
quindi le equazioni della tangente al punto ω sono:
Se da queste due equazioni si elimina ω si ha la:
| 3) |
(AD — BC)2 — 4 (BD — C2) (AC — B2) = 0
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dunque la superficie sviluppabile luogo delle tangenti alla cubica gobba è del quart’ordine (39)1. L’equazione del piano passante per tre punti (ω, θ, ε) della cubica gobba è:
e quella del piano osculatore al punto ω:
3. Il rapporto anarmonico de’ quattro piani:
è , epperò indipendente da ω, θ. Cioè: il rapporto anarmonico de’ quattro piani passanti rispettivamente per quattro punti fissi della cubica e per una stessa corda qualunque di essa linea è una quantità costante. Questa quantità può denominarsi rapporto anarmonico de’ quattro punti della cubica gobba (9, 10).
La retta tangente al punto ω incontra il piano osculatore al punto θ nel punto:
quindi le equazioni de’ quattro piani passanti per una stessa retta B = C = 0 e rispettivamente pe’ quattro punti in cui la tangente della cubica gobba al punto ω incontra i piani osculatori ai punti (ε1, ε2, ε3, ε4) si otterranno ponendo successivamente ε1, ε2, ε3, ε4 in luogo di θ nella:
ω (2B — ωC) — θ (2ωC — B) = 0
quindi il rapporto anarmonico dei nominati quattro punti della tangente sarà
