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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

La retta congiungente due punti $(\omega ,\theta )$ della linea può rappresentarsi colle equazioni:

$\mathrm {A} -(\omega +\theta )\mathrm {B} +\omega \theta \mathrm {C} =0,$          $\mathrm {B} -(\omega +\theta )\mathrm {C} +\omega \theta \mathrm {D} =0$

quindi le equazioni della tangente al punto $\omega$ sono:

$\mathrm {A} -2\omega \mathrm {B} +\omega ^{2}\mathrm {C} =0,$          $\mathrm {B} -2\omega \mathrm {C} +\omega ^{2}\mathrm {D} =0.$

Se da queste due equazioni si elimina $\omega$ si ha la:

3)	$(\mathrm {A} \mathrm {D} -\mathrm {B} \mathrm {C} )^{2}-4(\mathrm {B} \mathrm {D} -\mathrm {C} ^{2})(\mathrm {A} \mathrm {C} -\mathrm {B} ^{2})=0$

dunque la superficie sviluppabile luogo delle tangenti alla cubica gobba è del quart’ordine (39)^[1]. L’equazione del piano passante per tre punti $(\omega ,\theta ,\epsilon )$ della cubica gobba è:

$\mathrm {A} -(\omega +\theta +\epsilon )\mathrm {B} +(\theta \epsilon +\epsilon \omega +\omega \theta )\mathrm {C} -\omega \theta \epsilon \mathrm {D} =0$

e quella del piano osculatore al punto $\omega$:

$\mathrm {A} -3\omega \mathrm {B} +3\omega ^{2}\mathrm {C} -\omega ^{3}\mathrm {D} =0.$

3. Il rapporto anarmonico de’ quattro piani:

$\mathrm {A} -(\theta +\omega )\mathrm {B} +\omega \theta \mathrm {C} -\epsilon _{r}(\mathrm {B} -(\theta +\omega )\mathrm {C} +\omega \theta \mathrm {D} )=0\ldots ~(r=1,2,3,4)$

è ${\frac {\epsilon _{1}-\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}-\epsilon _{3}}}\cdot {\frac {\epsilon _{3}-\epsilon _{4}}{\epsilon _{2}-\epsilon _{4}}}$, epperò indipendente da $\omega$, $\theta$. Cioè: il rapporto anarmonico de’ quattro piani passanti rispettivamente per quattro punti fissi della cubica e per una stessa corda qualunque di essa linea è una quantità costante. Questa quantità può denominarsi rapporto anarmonico de’ quattro punti della cubica gobba (9, 10).

La retta tangente al punto $\omega$ incontra il piano osculatore al punto $\theta$ nel punto:

$\mathrm {A} :\mathrm {B} :\mathrm {C} :\mathrm {D} =3\omega ^{2}\theta :\omega (2\theta +\omega ):\theta +2\omega :3$

quindi le equazioni de’ quattro piani passanti per una stessa retta $\mathrm {B} =\mathrm {C} =0$ e rispettivamente pe’ quattro punti in cui la tangente della cubica gobba al punto $\omega$ incontra i piani osculatori ai punti $(\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\epsilon _{4})$ si otterranno ponendo successivamente $\epsilon _{1},\epsilon _{2},\epsilon _{3},\epsilon _{4}$ in luogo di $\theta$ nella:

$\omega (2\mathrm {B} -\omega \mathrm {C} )-\theta (2\omega \mathrm {C} -\mathrm {B} )=0$

quindi il rapporto anarmonico dei nominati quattro punti della tangente sarà ${\frac {\epsilon _{1}-\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}-\epsilon _{3}}}\cdot {\frac {\epsilon _{3}-\epsilon _{4}}{\epsilon _{2}-\epsilon _{4}}}$

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1. I numeri citati fra parentesi sono quelli dell’ultima memoria del sig. Chasles.