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| sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. | 41 |
quantità indipendente da ω. Ossia: il rapporto anarmonico de’ quattro punti in cui quattro piani osculatori fissi sono incontrati da una tangente qualunque è costante (51). Se questa quantità costante si denomina rapporto anarmonico de’ quattro piani osculatori della cubica gobba, potremo enunciare l’importante teorema: il rapporto anarmonico di quattro piani osculatori d’una cubica gobba è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro punti di contatto. Quindi i piani osculatori d’una cubica gobba formano una figura correlativa a quella formata dai punti di contatto (48).
4. Le equazioni 2) si possono ottenere anche dal teorema che segue. Abbiansi nello spazio due fasci di rette omografici, e sia B — ωC = 0 il piano di due raggi omologhi9. I due raggi potranno rappresentarsi colle equazioni:
da cui eliminando ω si hanno le equazioni 2), ossia: il luogo del punto d’intersezione di due raggi omologhi è una cubica gobba passante pe’ centri de’ fasci. Considerando il piano:
come appartenente al primo fascio, il piano omologo sarà:
quindi la retta ad essi comune incontra la cubica gobba in due punti (8).
Dimostro il teorema reciproco. Si consideri un fascio di rette congiungenti il punto ω della linea 2) ad altri punti x1, x2, ... della medesima. Le equazioni d’un raggio qualunque saranno:
Immaginando un secondo fascio di rette congiungenti il punto θ ai punti x1, x2, ..., il raggio di questo fascio corrispondente al punto x sarà:
quindi i due fasci sono omografici (5, 6).
5. Ricordata l’equazione del piano osculatore al punto ω, se si cerca di determinare ω onde questo piano passi per un dato punto di coordinate a : b : c : d, si ha l’equazione di terzo grado:
