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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/55

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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. 41

quantità indipendente da ω. Ossia: il rapporto anarmonico de’ quattro punti in cui quattro piani osculatori fissi sono incontrati da una tangente qualunque è costante (51). Se questa quantità costante si denomina rapporto anarmonico de’ quattro piani osculatori della cubica gobba, potremo enunciare l’importante teorema: il rapporto anarmonico di quattro piani osculatori d’una cubica gobba è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro punti di contatto. Quindi i piani osculatori d’una cubica gobba formano una figura correlativa a quella formata dai punti di contatto (48).

4. Le equazioni 2) si possono ottenere anche dal teorema che segue. Abbiansi nello spazio due fasci di rette omografici, e sia B — ωC = 0 il piano di due raggi omologhi9. I due raggi potranno rappresentarsi colle equazioni:

A — ωB = 0,          B — ωC = 0;          C — ωD = 0,          B — ωC = 0


da cui eliminando ω si hanno le equazioni 2), ossia: il luogo del punto d’intersezione di due raggi omologhi è una cubica gobba passante pe’ centri de’ fasci. Considerando il piano:

A — (θ + ω) B + ωθ C = 0


come appartenente al primo fascio, il piano omologo sarà:

B — (θ + ω) C + ωθ D = 0


quindi la retta ad essi comune incontra la cubica gobba in due punti (8).

Dimostro il teorema reciproco. Si consideri un fascio di rette congiungenti il punto ω della linea 2) ad altri punti x1, x2, ... della medesima. Le equazioni d’un raggio qualunque saranno:

A — ωB — x(B — ωC) = 0,          B — ωC — x(C — ωD) = 0.


Immaginando un secondo fascio di rette congiungenti il punto θ ai punti x1, x2, ..., il raggio di questo fascio corrispondente al punto x sarà:

A — θB — x(B — θC) = 0,          B — θC — x(C — θD) = 0.


quindi i due fasci sono omografici (5, 6).

5. Ricordata l’equazione del piano osculatore al punto ω, se si cerca di determinare ω onde questo piano passi per un dato punto di coordinate a : b : c : d, si ha l’equazione di terzo grado:

a — 3 ωb + 3 ω2c — ω3d = 0.