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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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siano tutti e tre reali, il cono ha tre generatrici reali d’inflessione ed una generatrice doppia conjugata. Le tre generatrici d’inflessione sono nel piano x + y + z = 0, che è quello passante pe’ tre punti di contatto della cubica gobba co’ piani osculatori x = y = z = 0. Questi medesimi piani sono tangenti al cono lungo le generatrici d’inflessione. La generatrice conjugata è rappresentata dalle equazioni x = y = z.

Se pel vertice del cono passa un solo piano osculatore reale x = 0, indicando con u = 0, v = 0 le equazioni di due piani reali passanti per quel punto, si avrà:

y = u + v ${\sqrt {-1}}$,          z = u — v ${\sqrt {-1}}$

quindi l’equazione del cono potrà scriversi così:

$x\left((x-u)^{2}-3v^{2}\right)-{\frac {8}{9}}(x-u)^{3}=0;$

quindi nel caso attuale il cono in quistione ha una sola generatrice reale d’inflessione ed una generatrice doppia nodale. Il cono è toccato lungo la generatrice d’inflessione dal piano x = 0 osculatore della cubica, e lungo la generatrice nodale dai due piani x — u ± v${\sqrt {3}}$ = 0. Se il vertice del cono passante per la cubica gobba è su di una retta tangente a questa linea, quel cono è ancora del terz’ordine, ma della terza classe. Il vertice sia al punto:

A = 0,          B = 0,          C —hD = E =0

situato sulla tangente A = B = 0. In questo caso l’equazione del cono può scriversi così:

A² (A — 9hB + 27h²E) — (A — 3hB)³ = 0

quindi il cono ha una generatrice di regresso:

A = 0,          B = 0

e una generatrice d’inflessione:

A — 9hB + 27h²E = 0,          A — 3hB = 0;

lungo queste generatrici il cono è toccato rispettivamente dai piani:

A = 0,          A — 9hB + 27h²E = 0

che sono osculatori della cubica gobba.

Da ultimo se il vertice del cono è nel punto θ della cubica gobba, la sua equazione sarà:

(A — θB) (C — θD) — (B — θC)² = 0