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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

dunque ogni superficie conica passante per una cubica gobba ed avente il vertice in essa è di second’ordine (2).

7. Da quanto precede consegue che la prospettiva di una cubica gobba è una cubica piana della quarta classe, avente un punto doppio, il quale è conjugato o un nodo secondo che pel punto di vista si ponno condurre alla cubica gobba tre piani osculatori reali o un solo (18). Se il punto di vista è in una retta tangente della cubica gobba, la prospettiva di questa è una cubica piana avente un punto di regresso, e se il punto di vista è sulla cubica gobba medesima, la prospettiva è una linea di second’ordine.

La reciproca di quest’ultima proprietà si trova enunciata nell’Aperçu nel seguente modo: il luogo de’ vertici dei coni di second’ordine passanti per sei punti dati contiene la cubica gobba individuata da questi sei punti¹⁰. Questo teorema somministra una semplice regola per costruire per punti una cubica gobba di cui sono dati sei punti a, b, c, d, e, f. I due fasci di rette a(bcdef), b(acdef) si seghino con un piano qualunque passante per la retta cd. Si otterranno così due sistemi di cinque punti, ne’ quali tre punti sono comuni. Le due coniche individuate da questi due sistemi, avendo tre punti comuni, si segheranno in un quarto punto, il quale apparterrà alla cubica gobba.

8. Ricerchiamo la natura della linea risultante dal segare con un piano il fascio delle rette tangenti alla cubica gobba, ossia la superficie 3). Il piano segante sia B — θC = 0 che passa per tre punti della cubica corrispondenti ai parametri zero, infinito e θ. Posto¹¹:

C = x, — A + θ²C = θ²y, — θD + C = z, B — θC = w

la sezione riferita alle rette w = 0 (x = 0, y = 0, z = 0) sarà rappresentata dalla equazione:

4)	z²y² + x²z² + y²x² — 2x²yz —2y²zx — 2z²xy = 0

$\scriptstyle {\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right.}$ ovvero

$x^{-{\frac {1}{2}}}+y^{-{\frac {1}{2}}}+z^{-{\frac {1}{2}}}=0$ $\scriptstyle {\left.{\begin{matrix}\ \\\\\ \ \end{matrix}}\right\}\,}$

epperò la sezione è una linea del quart’ordine; essa è poi della terza classe perchè ha tre cuspidi o punti di regresso (44). I cuspidi sono i punti y = z = 0; z = x = 0; x = y = 0 comuni alla cubica gobba ed al piano segante w = 0. Le rette tangenti alla linea 4) ne’ tre cuspidi sono y — z = 0, z — x = 0, x — y = 0; esse concorrono nel punto z = y = x il quale è quello comune ai tre piani osculatori della linea 2) ne’ punti che sono cuspidi della linea 4).

Se la superficie 3) vien segata da un piano tangente alla cubica gobba, per es. dal piano B = 0, che passa per la tangente al punto di parametro zero e sega la linea al

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