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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

Il risultato della eliminazione di ω da queste equazioni è:

${\begin{vmatrix}\mathrm {K} '\mathrm {G} -\mathrm {KG} '&\mathrm {KF} '-\mathrm {K} '\mathrm {F} &\mathrm {K} '\mathrm {E} -\mathrm {KE} '\\\mathrm {KF} '-\mathrm {K} '\mathrm {F} &\mathrm {K} '\mathrm {E} -\mathrm {KE} '+\mathrm {FG} '-\mathrm {F} '\mathrm {G} &\mathrm {GE} '-\mathrm {G} '\mathrm {E} \\\mathrm {K} '\mathrm {E} -\mathrm {KE} '&\mathrm {GE} '-\mathrm {G} '\mathrm {E} &\mathrm {EF} '-\mathrm {E} '\mathrm {F} \end{vmatrix}}=0$

ove K = cd H, K’ = γδ H’. Dunque il luogo richiesto è una superficie del sesto ordine (57).

Veniamo ora ai casi particolari.

1.º Sia a = c, cioè la prima direttrice rettilinea si appoggi in un punto alla cubica gobba: allora si ha $\lambda ={\frac {\omega -d}{\omega (\omega -b)}}$, quindi, posto L = H + bE, si ha l’equazione:

${\begin{vmatrix}\mathrm {LK} -d\mathrm {HG} '&d\mathrm {HF} '-\mathrm {K} '\mathrm {E} &-d\mathrm {H} \\d\mathrm {HF} '-\mathrm {K} '\mathrm {E} &-d\mathrm {HE} '+\mathrm {EG} '-\mathrm {F} '\mathrm {L} &\mathrm {L} \\-d\mathrm {HE} '&\mathrm {E} '\mathrm {L} &\mathrm {E} \end{vmatrix}}=0$

che è del quinto grado rispetto alle coordinate A, B, C, D (58).

2.º Sia a = c, b = d, cioè la prima direttrice rettilinea si appoggi alla cubica in due punti; allora $\lambda ={\frac {1}{\omega }}$, quindi si ha l’equazione:

H³E’ — H²EF’ + HE²G’ — γδE³H’ = 0

che è del quarto grado (59).

3.º Sia a = c, α = γ, cioè le due direttrici rettilinee si appoggino ciascuna in un punto alla cubica gobba: allora $\lambda ={\frac {\omega -d}{\omega (\omega -b)}}$, $\lambda '={\frac {\omega -\delta }{\omega (\omega -\beta )}}$, quindi si ha:

(dHE’ — δH’E)²
— (δH’ (H + bE) — dH (H’ + βE’)) (E (H’ + βE’) — E’ (H + bE)) = 0

equazione del quarto grado (59).

4.º Sia a = c, b = d, α = γ cioè una delle direttrici rettilinee si appoggi in due punti e l’altra in un solo punto alla cubica gobba: allora $\lambda ={\frac {1}{\omega }}$, $\lambda '={\frac {\omega -\delta }{\omega (\omega -\beta )}}$, e si ha la:

H²E’ — HE (H’ + βE’) + δE²H’ = 0

equazione del terzo grado (60).