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sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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5.º Finalmente, se fosse a = c, b = d, α = γ, β = δ, cioè se le due direttrici rettilinee fossero entrambe corde della cubica gobba, le equazioni della generatrice sarebbero:

ωE — H = 0,          ωE’ — H’= 0

da cui eliminando ω si ha:

EH’— E’H = 0

equazione rappresentante un iperboloide (60).

Nel 4.º caso la superficie rigata è, come si è veduto, del terz’ordine. La direttrice rettilinea E = H = 0 corda della cubica gobba ha la proprietà che da ciascun punto di essa partono due generatrici, le cui equazioni sono:

ωE — H = 0,		(δ — ω) H’ — ω (β — ω) E’ = 0
ω’E — H = 0,		(δ — ω’) H’ — ω’ (β — ω’) E’ = 0

ove:

δ(ω + ω’) — ωω’ — δβ = 0.

Queste due generatrici, partenti da uno stesso punto della direttrice E = H = 0, incontrano la cubica gobba ne’ punti che hanno per parametri ω, ω’. Le coppie di punti analoghi a questi due sono in involuzione, il che risulta dalla equazione che lega insieme ω, ω’. Perciò le corde della cubica congiungenti i punti omologhi sono generatrici dell’iperboloide:

AC — B² + δ(BC — AD) + δβ (BD — C²) = 0

il quale passa per la cubica gobba e per l’altra direttrice rettilinea E’ = H’ = 0.

30. La retta B = C = 0 corda della cubica gobba 2) sia l’asse comune di due fasci omografici di piani. Sia l’equazione d’un piano qualunque del primo fascio:

B — ωC = 0

quella del piano omologo nell’altro fascio sarà:

$\mathrm {B} -{\frac {a+b\omega }{c+d\omega }}\mathrm {C} =0$

a, b, c, d costanti arbitrarie. Questi due piani incontrano la cubica gobba ne’ due punti, i parametri de’ quali sono ω ed ${\frac {a+b\omega }{c+d\omega }}$; la retta che unisce questi punti è:

(c + dω) A — (a + (b + c)ω + dω²) B + (a + bω) ωC = 0,
(c + dω) B — (a + (b + c)ω + dω²) C + (a + bω) ωD = 0