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| teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. | 77 |
Per un punto data nello spazio passa sempre una retta (ed una sola) che è focale di un fascio di piani congiunti. In un piano dato esiste sempre una retta (ed una sola) che è direttrice di un fascio di piani congiunti. Se il punto dato è il fuoco del piano dato, le due rette sono reciproche, e i due fasci di piani congiunti coincidono in un solo fascio.
Per ogni punto dello spazio passano tre piani osculatori della cubica, epperò tre rette, ciascuna delle quali è direttrice di un fascio di piani congiunti. Se i tre piani osculatori sono reali, anche le tre direttrici sono reali; ma se due de’ piani osculatori sono ideali, si ha una sola direttrice reale, ed è quella comune ai due piani ideali.
Un piano qualunque sega la cubica in tre punti, epperò contiene tre rette, ciascuna delle quali è focale di un fascio di piani congiunti. Se i tre punti d’intersezione sono reali, tali sono anche le tre rette che li uniscono a due a due; ma se due di quelli sono ideali, si ha una sola focale reale, ed è la retta che passa pe’ due punti ideali. Ossia:
Per un punto qualunque dello spazio passano o tre rette direttrici reali o una sola, secondo che per quel punto si ponno condurre alla cubica tre piani osculatori reali o un solo. In un piano qualunque esistono tre rette focali reali o una sola, secondo che quel piano sega la cubica in tre punti reali o in un solo.
Credo interessante la proprietà che segue:
Se una retta focale incontra la cubica in due punti reali, e per conseguenza la relativa direttrice esiste in due piani osculatori reali, ciascun piano passante per questa incontra la cubica in un solo punto reale. All’incontro, se la focale incontra la cubica in due punti ideali, ogni piano passante per la direttrice incontra la cubica in tre punti reali. Ossia: ciascun piano di un fascio di piani congiunti in involuzione incontra la cubica in tre punti reali o in uno solo, secondo che gli elementi auto-coniugati della involuzione sono ideali o reali.
Infatti, affinchè la retta (3) incontri la cubica in due punti reali è necessario e sufficiente che sia:
ossia, ponendo per p, q, r i loro valori in funzione di σ, σ1 e σ2:
la quale è appunto la condizione necessaria e sufficiente perchè l’equazione:
che dà i parametri de’ punti comuni alla cubica ed al piano (1), abbia due radici imaginarie; c. d. d.
