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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

9.º Se prendiamo in considerazione due piani congiunti, essi danno luogo a figure abbastanza interessanti. Per conseguire formole più semplici e simmetriche faccio la seguente trasformazione di coordinate:

$x=\mathrm {A} ,$          $y=-\omega ^{3}\mathrm {D} ,$          $z=\omega ^{3}\mathrm {D} -3\omega ^{2}\mathrm {C} +3\omega \mathrm {B} -\mathrm {A} ,$
$w=2\mathrm {A} -3\omega \mathrm {B} -3\omega ^{2}\mathrm {C} +2\omega ^{3}\mathrm {D} .$

Le equazioni:

$w=0,$          $x+y+z=0$

rappresentano due piani congiunti; le:

$x=0,$          $y=0,$          $z=0$

rappresentano i piani osculatori concorrenti nel fuoco del piano $x+y+z=0$, e le:

$3(y-z)-w=0,$          $3(z-x)-w=0,$          $3(x-y)-w=0$

sono quelle de’ piani osculatori concorrenti nel fuoco del piano $w=0$. Ne’ due piani congiunti esistono le due coniche che ho denominate congiunte. Quella che è nel piano $w=0$ è rappresentata dalle equazioni:

7)	$w=0,$          $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy=0$

epperò questa conica è inscritta nel triangolo formato dalle rette secondo cui il piano $w=0$ è segato dai piani osculatori concorrenti nel fuoco del piano ad esso congiunto.

Considerando la figura che è nel piano $w=0$, le rette che uniscono i vertici del triangolo or nominato ai punti di contatto della conica inscritta sono:

8)	$w=0$          $(y-z=0,$          $z-x=0,$          $x-y=0)$

le quali sono le intersezioni del piano $w=0$ coi piani osculatori che concorrono nel suo fuoco. Il punto comune a queste tre rette, ossia il fuoco del piano $w=0$, è rappresentato dalle equazioni:

$w=0,$          $x=y=z.$

I punti in cui il piano $w=0$ sega la cubica sono:

$w=0$     $(x:y:z=-8:1:1;$     $x:y:z=1:-8:1;$     $x:y:z=1:1:-8)$

epperò i lati del triangolo da essi formato hanno per equazioni le:

$w=0$          $(7x+y+z=0,$          $x+7y+z=0,$          $x+y+7z=0).$

Questo triangolo e il triangolo circoscritto alla conica (7) sono omologici; le rette che congiungono i loro vertici corrispondenti sono le (8), che concorrono nel fuoco del piano