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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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$w=0$; e i lati omologhi si segano in tre punti posti nella retta:

$w=0,$          $x+y+z=0$

la quale è la direttrice comune dei due piani congiunti. Si noti inoltre che il fuoco è il polo della direttrice rispetto alla conica (7). Riunendo insieme queste proprietà, possiamo enunciare il seguente teorema:

Dati due piani congiunti $\mathrm {P}$, $\mathrm {P'}$, in ciascuno di essi, per es. in $\mathrm {P}$, esistono due triangoli, l’uno $\mathrm {ABC}$ inscritto nella cubica, l’altro $\mathrm {abc}$ avente i lati ne’ piani osculatori concorrenti nel fuoco $\mathrm {F'}$ dell’altro piano $\mathrm {P'}$. I due triangoli $\mathrm {ABC}$, $\mathrm {abc}$ sono omologici; il loro centro d’omologia è il fuoco $\mathrm {F}$ del piano $\mathrm {P}$, e l’asse d’omologia è la direttrice o comune intersezione de’ piani $\mathrm {P}$, $\mathrm {P'}$. La direttrice è la polare dei fuochi $\mathrm {F}$, $\mathrm {F'}$ rispetto alle coniche congiunte situate ne’ piani dati, e queste sono inscritte nei triangoli $\mathrm {abc}$, $\mathrm {a'b'c'}$ determinate dalle due terne di piani osculatori. Le rette che in ciascuno de’ piani dati, per es. in $\mathrm {P}$, uniscono i punti di contatto della rispettiva conica ai vertici opposti del triangolo circoscritto $\mathrm {abc}$ sono situate nei piani osculatori che concorrono nel fuoco $\mathrm {F}$ dello stesso piano $\mathrm {P}$.

10.º Le facce corrispondenti dei due triedri congiunti, formati dalle due terne di piani osculatori concorrenti ne’ fuochi de’ due piani congiunti, si segano secondo tre rette, le quali determinano l’iperboloide:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy-\left({\frac {1}{3}}w\right)^{2}=0$

ovvero

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-2y'z'-2z'x'-2x'y'-\left({\frac {1}{3}}w'\right)^{2}=0$

ove:

$3(y-z)-w=3x';$          $3(z-x)-w=3y';$          $3(x-y)-w=3z';$          $3(x+y+z)=w'.$

Questo iperboloide passa evidentemente per le due coniche congiunte, dunque:

Le rette secondo le quali si segano le facce corrispondenti di due triedri congiunti e le rispettive coniche congiunte giacciono in uno stesso iperboloide. Le coniche congiunte sono le curve di contatto dell’iperboloide coi coni involventi che hanno i vertici ne’ fochi de’ piani congiunti.

Qualunque superficie di second’ordine circoscritta al tetraedro:

$x=0,$          $y=0,$          $z=0,$          $w=0$

è rappresentabile coll’equazione:

$fyz+gzx+hxy+lxw+myw+nzw=0$