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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

ed analogamente ogni superficie di second’ordine circoscritta al tetraedro:

x’ = 0,          y’ = 0,          z’ = 0,          w’ = 0

ha un’equazione della forma:

f’y’z’ + g’z’x’ + h’x’y’ + l’x’w’ + m’y’w’ + n’z’w’ = 0.

Affinchè queste due superficie coincidano in una sola devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

${\frac {f'}{f}}={\frac {g'}{g}}={\frac {h'}{h}}={\frac {l'}{l}}={\frac {m'}{m}}={\frac {n'}{n}}$

3(n — m) — f = 0,          3(l — n) — g = 0,          3(m — l) — h = 0;

quindi ogni superficie di second’ordine circoscritta ai due tetraedri simultaneamente sarà compresa nella equazione:

(n — m)yz + (l — n)zx + (m — l)xy + ${\frac {1}{3}}$w (lx + my + nz) = 0

la quale contenendo ancora due arbitrarie l : m : n, esprime il teorema:

Ogni superficie di second’ordine passante per sette vertici di due tetraedri formati da due piani congiunti e dai relativi triedri congiunti passa anche per l’ottavo.

11.º Terminerò coll’enunciare alcuni teoremi che si deducono da quelli sopra dimostrati mediante il principio di dualità.

I piani polari di un punto dato rispetto a tutt’i coni di second’ordine che hanno i vertici sulla cubica gobba inviluppano un cono di second’ordine che ha il vertice in un punto individuato. Reciprocamente i piani polari di questo secondo punto inviluppano un altro cono di second’ordine che ha il vertice nel primo punto.

Due punti dotati di questa scambievole proprietà si diranno congiunti, e congiunti anco i relativi coni di second’ordine.

Due piani congiunti hanno per fuochi due punti congiunti, e viceversa due punti congiunti sono i fuochi di due piani congiunti.

Sia dato un punto; per esso passano tre piani osculatori della cubica, e un piano A di cui il punto dato è il fuoco, Questo piano sega gli altri tre in tre rette; si cerchi la quarta armonica di ciascuna fra esse rispetto alle altre due; si otterranno così tre nuove rette passanti pel punto dato e poste nel piano A. Queste tre rette determinano cogli spigoli rispettivamente opposti del triedro formato dai piani osculatori tre piani che passano per una stessa retta. Questa retta, che ha rispetto al punto dato tale proprietà esclusiva, si dirà la focale del punto.

Due punti congiunti hanno la stessa focale, la quale è la retta che li unisce.