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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura.

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Se per una retta direttrice passano due piani osculatori reali, e per conseguenza la relativa focale si appoggia alla cubica in due punti reali, per ciascun punto di questa passa un solo piano osculatore reale. Se all’incontro la direttrice è l’intersezione di due piani osculatori ideali, da ciascun punto della focale si potranno condurre alla cubica tre piani osculatori reali. Ossia: da ciascun punto di una involuzione di fuochi congiunti si ponno condurre alla cubica tre piani osculatori reali o un solo, secondo che i punti auto-coniugati della involuzione sono ideali o reali.

Dati due punti congiunti $\mathrm {F}$, $\mathrm {F'}$ (fuochi di due piani congiunti $\mathrm {P}$, $\mathrm {P'}$), ciascuno di essi, per es. $\mathrm {F}$, è il vertice di due triedri, l’uno $\mathrm {FABC}$ formato dai piani osculatori concorrenti in $\mathrm {F}$, l’altro $\mathrm {Fabc}$ avente gli spigoli passanti per que’ punti della cubica che sono nel piano $\mathrm {P'}$. I due triedri $\mathrm {FABC}$, $\mathrm {Fabc}$ sono omologici; il piano d’omologia (il piano ove sono le rette intersezioni delle facce corrispondenti de’ due triedri) è il piano $\mathrm {P}$; l’asse d’omologia (la retta per cui passano i piani determinati dalle coppie di spigoli corrispondenti de’ due triedri) è la focale comune $\mathrm {FF'}$. Questa focale è la polare de’ due piani congiunti $\mathrm {P}$, $\mathrm {P'}$ rispetto ai coni congiunti, e questi sono circoscritti ai triedri $\mathrm {Fabc}$, $\mathrm {F'a'b'c'}$ i cui spigoli si appoggiano alla cubica. Le rette che, per ciascun punto congiunto, per es. $\mathrm {F}$, sono le intersezioni delle facce del triedro inscritto $\mathrm {Fabc}$ coi piani tangenti al cono circoscritto lungo gli spigoli rispettivamente opposti passano pe’ punti della cubica che appartengono al piano $\mathrm {P}$.

Le rette che uniscono i vertici omologhi di due triangoli congiunti (ossia triangoli inscritti nella cubica e posti in piani congiunti) determinano un iperboloide toccato dai relativi coni congiunti lungo due curve poste nei piani congiunti.

Ogni superficie di second’ordine tangente a sette facce di due tetraedri determinati da due triangoli congiunti e dai relativi fuochi tocca anche l’ottava.

Cremona, ottobre 1858.

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Cremona, tomo I.

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