Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/95

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teoremi sulle linee del terz’ordine a doppia curvatura. 81


Se per una retta direttrice passano due piani osculatori reali, e per conseguenza la relativa focale si appoggia alla cubica in due punti reali, per ciascun punto di questa passa un solo piano osculatore reale. Se all’incontro la direttrice è l’intersezione di due piani osculatori ideali, da ciascun punto della focale si potranno condurre alla cubica tre piani osculatori reali. Ossia: da ciascun punto di una involuzione di fuochi congiunti si ponno condurre alla cubica tre piani osculatori reali o un solo, secondo che i punti auto-coniugati della involuzione sono ideali o reali.

Dati due punti congiunti F, F’ (fuochi di due piani congiunti P, P’), ciascuno di essi, per es. F, è il vertice di due triedri, l’uno FABC formato dai piani osculatori concorrenti in F, l’altro Fabc avente gli spigoli passanti per que’ punti della cubica che sono nel piano P’. I due triedri FABC, Fabc sono omologici; il piano d’omologia (il piano ove sono le rette intersezioni delle facce corrispondenti de’ due triedri) è il piano P; l’asse d’omologia (la retta per cui passano i piani determinati dalle coppie di spigoli corrispondenti de’ due triedri) è la focale comune FF’. Questa focale è la polare de’ due piani congiunti P, P’ rispetto ai coni congiunti, e questi sono circoscritti ai triedri Fabc, F’a’b’c’ i cui spigoli si appoggiano alla cubica. Le rette che, per ciascun punto congiunto, per es. F, sono le intersezioni delle facce del triedro inscritto Fabc coi piani tangenti al cono circoscritto lungo gli spigoli rispettivamente opposti passano pe’ punti della cubica che appartengono al piano P.

Le rette che uniscono i vertici omologhi di due triangoli congiunti (ossia triangoli inscritti nella cubica e posti in piani congiunti) determinano un iperboloide toccato dai relativi coni congiunti lungo due curve poste nei piani congiunti.

Ogni superficie di second’ordine tangente a sette facce di due tetraedri determinati da due triangoli congiunti e dai relativi fuochi tocca anche l’ottava.


Cremona, ottobre 1858.



Cremona, tomo I. 6