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esempio, il punto $R^{1}R^{2}$ al punto $R^{3}R^{4}$ si faccia corrispondere quella curva che è comune ai fasci $C_{n}^{1}C_{n}^{2}$, $C_{n}^{3}C_{n}^{4}$; ed allora per qualunque altra retta del fascio $R^{1}R^{2}$ la corrispondente curva del fascio $C_{n}^{1}C_{n}^{2}$ sia determinata dalla condizione che il rapporto anarmonico di quattro rette del primo fascio sia eguale al rapporto anarmonico de’ corrispondenti elementi del secondo. Analoghe considerazioni s’intendano fatte per tutt’ i vertici del quadrilatero completo formato dalle quattro rette $R^{1}R^{2}R^{3}R^{4}$: onde si potrà costruire un fascio di curve, appartenenti alla rete del piano $P$, il quale sia projettivo al fascio delle rette incrociate in uno qualunque dei vertici del quadrilatero menzionato.

Se ora si fissa ad arbitrio un punto nel piano $P'$, e lo si congiunge a tre vertici del quadrilatero, le rette congiungenti corrispondono a curve del piano $P$ già individuate, ed appartenenti ad uno stesso fascio: epperò a qualunque retta condotta per quel punto corrisponderà una curva unica e determinata.

Per tal modo le rette del piano $P'$ e le curve della rete nel piano $P$ si corrispondono anarmonicamente, ciascuna a ciascuna, in modo che ad un fascio di rette in $P'$ corrisponde in $P$ un fascio projettivo di curve della rete. Alle rette che nel piano $P'$ passano per uno stesso punto $a'$ corrispondono adunque, in $P$, altrettante curve le quali formano un fascio e per conseguenza hanno in comune, oltre ai punti principali della rete, un solo e individuato punto $a$. E viceversa, dato un punto $a$ nel piano $P$, le curve della rete, che passano per $a$, formano un fascio e corrispondono a rette nel piano $P'$ che s’incrociano in un punto $a'$. Donde segue che ad un punto qualunque di uno de’ piani $P$, $P'$ corrisponde nell’altro un punto unico e determinato.

2. Se il punto $a$ si muove nel piano $P$ descrivendo una retta $R$, quale sarà il luogo del corrispondente punto $a'$? Una qualsivoglia curva della rete in $P$ contiene $n$ posizioni del punto $a$; dunque la corrispondente retta in $P'$ conterrà le $n$ corrispondenti posizioni di $a'$. Cioè il luogo di $a'$ sarà una curva d’ordine $n$: ossia ad una retta qualunque nel piano $P$ corrisponde in $P'$ una curva d’ordine $n$.

Tutte le rette che nel piano $P$ passano per un medesimo punto formano un fascio: quindi, anche nel piano $P'$, le corrispondenti curve saranno tali che tutte quelle passanti per uno stesso punto formino un fascio, cioè per due punti presi ad arbitrio passi una sola di quelle curve che corrispondono alle rette del piano $P$. Queste curve costituiscono adunque una rete. E siccome due rette qualunque nel piano $P$ determinano un punto unico, così anche in $P'$ le due corrispondenti curve individueranno un punto solo: le rimanenti loro intersezioni saranno cioè punti comuni a tutte le curve analoghe. Siano $y_{1},y_{2},\dots y_{r},\dots y_{n-1}$ i numeri dei punti semplici, doppi, ... $(r)$^pli, ... $(n-1)$^pli comuni a tutte le curve menzionate (cioè i punti principali della rete formata nel piano $P'$ dalle curve che corrispondono alle rette del piano $P$); avremo in virtù delle cose