Pagina:Opere matematiche (Cremona) II.djvu/202

Da Wikisource.

discorse,

3)

,

4)

.


3. Sia ora una data curva della rete in ; la corrispondente retta in ; ed uno de’ punti principali pel quale passi volte. Se intorno ad facciamo girare (nel piano ) una retta , su di essa avremo punti variabili della curva , le altre intersezioni essendo fisse e riunite in . La curva variabile corrispondente (in ) alla retta segherà per conseguenza la retta data in punti de’ quali soltanto varieranno col variare della curva medesima. Dunque è composta di una curva fissa d’ordine e di una curva variabile d’ordine . I punti della curva fissa corrispondono tutti al punto principale ; ed al fascio delle rette condotte per nel piano corrisponderà in un fascio di curve d’ordine , ciascuna delle quali accoppiata colla curva fissa d’ordine dà una curva d’ordine della rete.

Analogamente ad ogni punto principale plo in corrisponderà in una certa curva d’ordine ; cioè ad una retta variabile in intorno a quel punto corrisponderà nell’altro piano una linea composta d’una curva variabile d’ordine e d’una curva fissa d’ordine .

Si chiameranno curve principali <fondamentali> le curve di un piano ( o ) che corrispondono ai punti principali dell’altro piano ( o ).

4. In sostanza, i punti di una curva principale nell’uno de’ due piani corrispondono ai punti infinitamente vicini al corrispondente punto principale nell’altro piano1. Donde segue che le due curve, l’una principale d’ordine , l’altra d’ordine , che insieme compongono la curva corrispondente ad una retta passante per un punto principale di grado , hanno, oltre ai punti principali, un solo punto comune, il quale è quel punto della curva principale che corrisponde al punto di infinitamente vicino ad . E ne segue inoltre che una curva principale, considerata come una serie di punti, è projettiva ad un fascio di rette o, ciò che torna lo stesso, ad una retta punteggiata. Le curve principali hanno dunque la proprietà, del pari che le curve delle reti ne’ due piani, di avere il massimo numero di punti multipli che possano appartenere ad una curva di dato ordine2. Così fra le curve principali, le cubiche avranno un punto doppio; le curve del quart’ ordine un punto triplo o tre punti doppi;

  1. <Da ciò segue che le curve fondamentali sono di genere zero.>
  2. Clebsch, Ueber diejenigen ebenen Curven, deren Coordinaten rationale Functionen eines Parameters sind (Giornale di Crelle-Borchardt, t. 64, p. 43, Berlin 1864).