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19. Ben inteso, si sono tralasciati quei sistemi di valori delle $x_{1},x_{2},\dots$ che, pur risolvendo aritmeticamente le equazioni (1), (2), non sodisfanno al problema geometrico: infatti questo esige che una curva d'ordine $n$ possa avere $x_{2}$ punti doppi, $x_{3}$ punti tripli, ... senza decomporsi in curve d'ordine minore. Per es., siccome una curva del quint'ordine non può avere due punti tripli, così per $n=5$ deve escludersi la soluzione

$x_{1}=6,\,x_{2}=0,\,x_{3}=2,\,x_{4}=0$.

Una curva del settimo ordine non può avere cinque punti tripli, perchè la conica descritta per essi intersecherebbe quella curva in quindici punti, mentre due curve (effettive, non composte) non possono avere in comune un numero di punti maggiore del prodotto de' loro ordini; dunque, nel caso $n=7$, si deve escludere la soluzione

$x_{1}=3,\,x_{2}=0,\,x_{3}=5,\,x_{4}=0,\,x_{5}=0,\,x_{6}=0$.

Per la stessa ragione, una curva del decimo ordine non può avere simultaneamente un punto quintuplo e quattro punti quadrupli, nè due punti quintupli, due punti quadrupli ed uno triplo; e nemmeno tre punti quintupli con due tripli. Perciò, nel caso di $n=10$, devono essere escluse le soluzioni [75]:

$x_{1}=2,\,x_{2}=2,\,x_{3}=0,\,x_{4}=4,\,x_{5}=1,\,x_{6}=0,\,x_{7}=0,\,x_{8}=0,$

$x_{1}=4,\,x_{2}=1,\,x_{3}=1,\,x_{4}=2,\,x_{5}=2,\,x_{6}=10,\,x_{7}=0,\,x_{8}=0,$

$x_{1}=6,\,x_{2}=0,\,x_{3}=2,\,x_{4}=0,\,x_{5}=3,\,x_{6}=0,\,x_{7}=0,\,x_{8}=0.$ Ecc. ecc.

20. Passiamo ora a determinare alcune soluzioni delle equazioni (1), (2) per $n$ qualunque. E avanti tutto, osserviamo che, siccome una retta non può incontrare una curva d'ordine $n$ in più di $n$ punti, così, supposto $2r>n$, il numero $x_{r}$ non può avere che uno di questi due valori: lo zero o l'unità; e supposto $r+s>n$, se $x_{r}=1$, sarà $x_{s}=0$.

21. Per $n>2$, il massimo valore di $x_{n-1}$ è adunque l'unità, e supposto $x_{n-1}=1$, tutte le altre $x$ saranno eguali a zero ad eccezione di $x_{1}$. In questa ipotesi, una qualunque delle equazioni (1), (2) dà

$x_{1}=2(n-1)$.

Questo è anche il massimo valore che in qualunque caso possa avere $x_{1}$ come si fa manifesto dall'equazione

$\sum r(n-r-1)(x_{r}+x_{n-r-1})=2(n-1)(n-2)$,

che si ottiene eliminando $x_{n-1}$ dalle (1), (2).