Pagina:Ossino - Appunti di relatività.pdf/99

APPUNTI DI RELATIVITÀ

97

Per l’osservatore che si muove con velocità $U$, prima dell’impatto abbiamo:

	$p'=mu'\gamma '$;	$E'=mc^{2}\gamma '$.
Essendo	$u'\gamma '=\gamma \Gamma (u-U)$,	$\gamma '=\gamma \Gamma \left(1-uU/c^{2}\right)$,

si ricava:

$p'=\Gamma \left(p-{\frac {U}{c^{2}}}E\right)$;

$E'=\Gamma \left(E-Up\right)$.

Dopo l’impatto abbiamo:

$p'_{\mathrm {O} }=\Gamma \left(p_{\mathrm {O} }-{\frac {U}{c^{2}}}E_{\mathrm {O} }\right)=-mU\Gamma$.

$E'_{\mathrm {O} }=\Gamma \left(E_{\mathrm {O} }-Up_{\mathrm {O} }\right)=\Gamma E_{\mathrm {O} }$.

Ricaviamo le quantità: $\Delta p'=p'-p'_{\mathrm {O} }$ e $\Delta E'=E'-E'_{\mathrm {O} }$:

$\Delta p'=\Gamma \left[\left(p-{\frac {U}{c^{2}}}E\right)-\left(p_{\mathrm {O} }-{\frac {U}{c^{2}}}E_{\mathrm {O} }\right)\right]=\Gamma \left(\Delta p-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta E\right)$.

$\Delta E=\Gamma \left[\left(E-Up\right)-\left(E_{\mathrm {O} }-Up_{\mathrm {O} }\right)\right]=\Gamma \left(\Delta E-U\Delta p\right)$.

Riassumendo le trasformazioni di $\Delta p$ e $\Delta E$ sono:

$\Delta p'=\Gamma \left(\Delta p-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta E\right)$;

$\Delta E'=\Gamma \left(\Delta E-U\Delta p\right)$.

È evidente che le trasformazioni di questi parametri hanno la stessa forma delle trasformazioni di Lorentz.