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IL TERZO EFFETTO RELATIVISTICO

Quantitativamente risulta $\Delta p=p$ e $\Delta E=T$, ma queste quantità sono fisicamente differenti, infatti $p$ e $T$ si riferiscono allo stato fisico della particella prima dell’impatto, mentre $\Delta p$ e $\Delta E$ sono quantità che la particella ha ceduto al bersaglio nell’impatto. La differenza risulta evidente considerando le trasformazioni $\Delta p'\neq p'$ e $\Delta E'\neq T'$. Per es. se osservatore e particella hanno la stessa velocità $(U=u)$, risulta:

$T'=E'-E_{\mathrm {O} }=\Gamma (E-Up)-E_{\mathrm {O} }=\gamma (mc^{2}\gamma -mu^{2}\gamma )-mc^{2}=$

$=mc^{2}\gamma ^{2}(1-u^{2}/c^{2})-mc^{2}=0$.

Essendo $U=u$ la quantità $T'$ risulta ovviamente nulla.

Nello stesso caso $(U=u)$ abbiamo:

$\Delta E'=\Gamma \left(\Delta E-U\Delta p\right)=\gamma \left[mc^{2}\left(\gamma -1\right)-mu^{2}\gamma \right]=$

$=mc^{2}\left[\left(\gamma -1\right)-\gamma ^{2}u^{2}/c^{2}\right]=mc^{2}\left[\gamma ^{2}\left(1-u^{2}/c^{2}\right)-\gamma \right]=$

$=-mc^{2}(\gamma -1)=-T$.

Vediamo che $T=\Delta E$, mentre $T'\neq \Delta E'$. Il segno negativo della quantità $\Delta E'=-T$ significa che per l’osservatore solidale la particella non cede ma riceve energia dal bersaglio.

Le trasformazioni dell’impulso sono:

$p'=\Gamma \left(p-{\frac {U}{c^{2}}}E\right)=\gamma (mu\gamma -mu\gamma )=0$.

$\Delta p'=\Gamma \left(\Delta p-{\frac {U}{c^{2}}}\Delta E\right)=\gamma \left[mu\gamma -mu(\gamma -1)\right]=mu\gamma$.

Il segno di $\Delta p'$ è positivo perché l’impulso ricevuto dal bersaglio è in direzione opposta rispetto al moto dell’osservatore solidale.