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Teoremi.

4. a, b ∈ 1 . a = b : ⊃ . ab = ∧.{Hp . ⊃ . ab = aa = ∧}
5. a, b ∈ 1 . ab − = ∧ : ⊃ . a − = b.{P5 = P4}
6. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . a − = b.{Hp . ⊃ : ab − = ∧ . P5 : ⊃ Ts.}
7. a, b, c ∈ 1 . b ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ a′k.{P7 = P6}
8. a ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ a′k.

Assioma IV.

9. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . ab − = ∧.

Teoremi.

10. a, b ∈ 1 . ab = ∧ : ⊃ . a = b.{P10 = P9}
11. a, b ∈ 1 . ⊃ : a = b . = . ab = ∧.{P11 = : P4 . P10}
12. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . b ∈ a′ab.

{Hp . ⊃ . ab − = ∧ . ⊃ . ab ∩ ab − = ∧ . ⊃ . Ts.}

§5. Assiomi V, VI, VII.

Assioma V.

1. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab = ba.

Teoremi.

2. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b = ba′.

{Hp : ⊃ : x ∈ a′b . = . b ∈ ax . = . b ∈ xa . = . x ∈ ba′ : ⊃ Ts}

3. a, b ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ : b ∈ a′k . = . a ∈ b′k.{Hp . §3 P7 : ⊃ : b ∈ a′k . = . k ∩ ab − = ∧ . = . k ∩ ba − = ∧ . = a ∈ b′k : ⊃ . Ts.}
4. a, b, c, d ∈ 1 . ⊃ : ab ∩ cd − = ∧ . = . a ∈ b′cd . = . b ∈ a′cd . = . c ∈ d′ab . = . d ∈ c′ab.
5. ». ⊃ : a′b ∩ cd − = ∧ . = . a ∈ b(cd)′ . = . b ∈ acd . = . c ∈ d′a′b . = . d ∈ c′a′b.
6. ». ⊃ : a′b ∩ c′d − = ∧ . = . a ∈ b(c′d′)′ . = . b ∈ ac′d . = . c ∈ d(a′b)′ . =. d ∈ ca′b.
7. h, k ∈ K 1 . ⊃ . hk = kh.
8. ». ⊃ . h′k = kh′.