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§2.
Per definizione si intende una proposizione della forma x = a, ovvero a ⊃ . x = a, ove a è un aggregato di segni avente senso già noto, x è il segno, gruppo di segni, che si vuol definire, ed a è l’ipotesi sotto la quale si dà la definizione. Dire che, dati certi enti, si può definire un nuovo ente x, significa che cogli enti dati si può formare un’espressione a in guisa che si abbia l’eguaglianza x = a.
È chiaro che non tutti gli enti si possono definire; ma è importante in ogni scienza di ridurre al minimo numero gli enti non definiti. Di questi si enuncieranno solo le proprietà. La riduzione degli enti non definiti al minimo numero presenta alcuna volta dell’arbitrario; così se mediante a e b si può definire c, e mediante a e c si può definire b, resta in nostro arbitrio la scelta come sistema irreduttibile fra a, b e a, c. Così, nel nostro caso, invece dei segni 1 e ab (punto e segmento) si sarebbero potuti assumere i segni 1 e a’b (punto e raggio); la cosa non sarebbe stata possibile assumendo come concetti non definiti il punto e la retta.
Se in una scienza sonvi enti non definiti ed altri definiti, tutte le proposizioni di quella scienza esprimono proprietà dei soli enti non definiti.
Il significato qui attribuito alla parola definizione coincide, ovvero non, col comune? È facile il vedere che le definizioni che compaiono in matematica, eccettuate al più le prime tuttora oggetto di discussione, tradotte in simboli, hanno la forma precedente. Si esaminino ad es. le definizioni di numero primo, di limite, della continuità delle funzioni, di derivata, ecc.
P1. «Essendo a e b due punti, col segno a’b si intende la classe formata dai punti x tali che il segmento ax contenga nel suo interno il punto b».
P2. Per i segmenti, ed in generale, ove si intenda con c ∈ ab una relazione simmetrica in a e b (Assioma V), sarà ab′ identico con b′a. Se colla scrittura c ∈ ab si intende «c è equidistante da a e da b», allora ab è il luogo dei punti equidistanti da a e da b; a′b
| Peano — Principii di Geometria. | 3 |
